Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 11 кл., №4

Условие

На какое минимальное число натуральных слагаемых можно так разложить число $2025$ чтобы, складывая некоторые из этих слагаемых, можно было получить любое число от $1$ до $2025$

О задаче · 11 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы12 балловСумма максимумов по критериям: 98.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сколько разных подмножеств можно выбрать из $m$ слагаемых?

Подсказка 2

Двоичные разряды $1,2,4,\ldots,512$ дают все суммы от $0$ до $1023$ Подберите последнее слагаемое, чтобы общая сумма стала $2025$

Разобрать решение по шагам

Доказываем, что десяти слагаемых мало

У $m$ слагаемых есть $2^m$ подмножеств, включая пустое. Их суммы должны включать все $2026$ чисел от $0$ до $2025$ поэтому $2^m\ge2026$ Так как $2^{10}=1024<2026$ нужно не менее $11$ слагаемых.

Строим разложение из одиннадцати слагаемых

Возьмём

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1002.

Первые десять чисел в сумме дают $1023$ и, по двоичной записи, позволяют получить каждое число от $0$ до $1023$ Добавляя $1002$ получаем все числа от $1002$ до $2025$ Эти интервалы перекрываются, поэтому доступны все требуемые суммы. Общая сумма слагаемых равна $1023+1002=2025$

Ответ

$11$

Главная идея

Число подмножеств даёт нижнюю границу, а двоичная запись — конструкцию, достигающую её.

Как заметить эту идею в другой задаче

Требуются все целые суммы из выбранных слагаемых: полезно считать подмножества и использовать степени двойки.

Возможная ошибка

Разные подмножества могут иметь одинаковые суммы, поэтому число подмножеств — только верхняя оценка числа получаемых значений; построение нужно проверить отдельно.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 4 · задача 4 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Правила сложения и умножения
различимые и одинаковые объекты

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →