Единственный корень уравнения четвёртой степени

Преобразуем уравнение

Повторяется выражение $x^2-a$. Дополнение до квадрата подсказывает замену $t=x^2-a+1$. Тогда исходное уравнение имеет вид

то есть $t^2+x-a+1=0$. Из замены $a=x^2+1-t$, поэтому

Прибавим к обеим частям $\frac14$:

Следовательно, $t=-x$ или $t=x-1$. Возвращаем замену:

Каждый переход равносилен: мы только переписали выражения, не делили на переменные и не возводили односторонне в квадрат.

Считаем число различных корней

Дискриминанты равны $D_1=4a-3$ и $D_2=4a-7$. При $a<3/4$ оба отрицательны: корней нет. При $a=3/4$ первое уравнение имеет единственный корень $x=-1/2$, а второе корней не имеет. При любом $a>3/4$ уже первое уравнение даёт два различных корня, так что ровно один корень невозможен независимо от второго уравнения. Следовательно, подходящее значение параметра только одно: $a=3/4$.

Записываем требуемую сумму

При $a=3/4$ и $x=-1/2$ сумма равна