Громоздкое неравенство как ограничение области

Оцениваем дроби независимо от x

Положим $a=\cos x$, $b=2\cos(x/2)$, $c=3\cos(x/3)$. При $-\pi/2<x<\pi/2$ все они положительны, и знаменатели не равны нулю. Обозначим $s=a+b+c$. По неравенству Коши для положительных чисел $u,v,w$ имеем $(1/u+1/v+1/w)(u+v+w)\ge9$. Применяя его к $u=s-a$, $v=s-b$, $w=s-c$, получаем

Левая часть исходного неравенства в четыре раза больше этой суммы и потому не меньше $6$.

Находим допустимый интервал

Правая часть существует при $\sin x+\cos x\ge0$. Там $2\sin x+2\cos x\le4$, значит правая часть не превосходит $3\sqrt4=6$. Таким образом, неравенство выполняется во всей области определения. На исходном интервале условие $\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4)\ge0$ равносильно

Ищем минимум функции

При $-\pi/4\le x\le0$ имеем $\cos x\ge1/\sqrt2$ и $\sin x\ge-1/\sqrt2$. Поэтому

Равенство достигается при $x=-\pi/4$. При $0<x<\pi/2$ оба слагаемых положительны и меньшего значения дать не могут. Квадрат минимума равен $1/2$.