Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 11 кл., №1

Условие

Пусть $x,y,z$ — произвольные положительные числа, удовлетворяющие уравнению $x+y+z=12$ Найдите наибольшее возможное значение суммы $xy+xz+yz$

О задаче · 11 класс · 5 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы5 балловСумма максимумов по критериям: 98.

Сложность Popov Academy1/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Раскройте $(x+y+z)^2$ и сравните $x^2+y^2+z^2$ с $xy+xz+yz$

Подсказка 2

Разность этих двух сумм выражается через квадраты $x-y$ $y-z$ и $z-x$

Разобрать решение по шагам

Получаем верхнюю оценку

Известна сумма $x+y+z$ значит, известен и её квадрат. В его раскрытии появится именно нужная сумма попарных произведений. Чтобы получить верхнюю границу для неё, сравним её с суммой квадратов: Так как

x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=\frac{(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2}{2}\ge0,

имеем

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\ge3(xy+xz+yz).

При $x+y+z=12$ отсюда $xy+xz+yz\le144/3=48$

Проверяем достижение

Возьмём $x=y=z=4$ Все три числа положительны, их сумма равна $12$ а $xy+xz+yz=3\cdot16=48$ Значит, верхняя оценка достигается.

Ответ

$48$

Главная идея

При фиксированной сумме попарные произведения максимальны, когда три числа равны.

Как заметить эту идею в другой задаче

Симметричное выражение при заданной сумме часто оценивается суммой квадратов разностей.

Возможная ошибка

Одной проверки равных чисел недостаточно: нужно доказать, что никакая другая тройка не даёт большего значения.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Неравенства и экстремумы →

Тема, знания и приёмы

Неравенства и экстремумы · Нужна школьная база

Преобразование выражений
свойства неравенств

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →