Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 11 кл., №6

Условие

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$ если точка $A$ принадлежит кривой $16x^2+16y^2-160x-80y+483=0$ , а точка $B$ — одному из графиков семейства функций $y=(k^2+2k+2)(x^2-2x)+k^2+2k+1$ , $k\in\mathbb R$ В ответ запишите сумму квадрата найденной наименьшей длины и значения $k$ при котором эта длина достигается.

Несколько членов заданного семейства и окружность. Общая прямая и точки минимального расстояния пока не построены.

О задаче · 11 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы12 балловСумма максимумов по критериям: 98.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Одна опорная прямая для всего семейства

Меняются только разрешённые значения параметра k. Пунктир и окружность неподвижны. Эти состояния показывают нижнюю границу, а не выдают её за расстояние до каждого отдельного графика.

1. Нижняя парабола: k = −1

$y=(x-1)^2-1$ Она касается прямой $y=4x-9$ в $B=(3,3)$

2. Более узкая: k = 0

$y=2(x-1)^2-1$ В точке $x=3$ эта парабола уже выше прямой; равенство оценки не достигается.

3. Ещё уже: k = 1

$y=5(x-1)^2-1$ Неотрицательное добавление $(k+1)^2(x-1)^2$ сохраняет весь график над опорной прямой.

4. Минимальный отрезок

Возвращаемся к $k=-1$ $A=(4,\frac{11}{4})$ лежит на $OB$ а $AB=OB-OA=d-r$

Фиксированные расчётные состояния; все доступны статично. Временной закон движения не предполагается.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Выделите полные квадраты в обоих уравнениях. Найдите центр и радиус окружности.

Подсказка 2

Все параболы лежат над прямой $y=4x-9$ Проверьте это алгебраически и найдите точку касания при $k=-1$

Разобрать решение по шагам

Приводим уравнения к удобному виду

Разделим уравнение кривой на $16$ и выделим полные квадраты:

\begin{aligned}x^2-10x+y^2-5y+\frac{483}{16}&=0,\\[0.45em](x-5)^2+\left(y-\frac52\right)^2&=25+\frac{25}{4}-\frac{483}{16}=\frac{17}{16}.\end{aligned}

Это окружность с центром $O=(5,\frac52)$ и радиусом $r=\frac{\sqrt{17}}4$ В семействе графиков используем $k^2+2k+2=(k+1)^2+1$ и $x^2-2x=(x-1)^2-1$

\begin{aligned}y&=\bigl((k+1)^2+1\bigr)\bigl((x-1)^2-1\bigr)+(k+1)^2\\[0.45em]&=\bigl((k+1)^2+1\bigr)(x-1)^2-1.\end{aligned}

У всех парабол общая вершина (1; −1), но разная ширина. Окружность отделена от семейства.

Находим общую опорную прямую

Коэффициент при $(x-1)^2$ не меньше $1$ поэтому самая низкая парабола семейства имеет $k=-1$ и уравнение $y=(x-1)^2-1$ Ищем прямую, которая отделяет от всех графиков окружность: расстояние до такой прямой легче вычислить, чем до каждой параболы. Для нижней параболы касательная в точке с абсциссой $3$ имеет наклон $2(3-1)=4$ Её уравнение $y=4x-9$ Почему выбираем именно эту точку? Для $B=(3,3)$ вектор $\overrightarrow{OB}=(-2,\frac12)$ перпендикулярен направлению $(1,4)$ этой касательной: $-2+4\cdot\frac12=0$ Теперь проверим, что прямая подходит всему семейству, без опоры только на рисунок:

\begin{aligned}y-(4x-9)&=\bigl((k+1)^2+1\bigr)(x-1)^2-1-4x+9\\[0.45em]&=(x-3)^2+(k+1)^2(x-1)^2\ge0.\end{aligned}

Все графики лежат в полуплоскости $y\ge4x-9$ Равенство возможно только при $x=3$ и $k=-1$ Центр $O$ находится по другую сторону прямой. Расстояние от него до неё:

d=\frac{|4\cdot5-\frac52-9|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{17}}2.

Поскольку $OB$ перпендикулярен прямой, эта нижняя оценка расстояния до графиков достигается именно в $B$

Золотой пунктир — общая опорная прямая; OB перпендикулярен ей. Точка B принадлежит нижней параболе.

Переходим к окружности

Для любых точек окружности $A$ и графика $B$ неравенство треугольника даёт $AB\ge OB-OA\ge d-r$ Эта оценка достигается при найденной точке $B=(3,3)$ и точке $A$ на отрезке $OB$ на расстоянии $r$ от центра. Поэтому

AB_{\min}=\frac{\sqrt{17}}2-\frac{\sqrt{17}}4=\frac{\sqrt{17}}4.

При этом $k=-1$ Требуемая сумма равна

AB_{\min}^2+k=\frac{17}{16}-1=\frac1{16}.

Ближайшая точка окружности A лежит на OB. От расстояния OB вычитаем радиус OA.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$\frac{1}{16}$

Главная идея

Общая опорная прямая даёт нижнюю оценку расстояния до всех графиков сразу; точка касания показывает достижимость.

Как заметить эту идею в другой задаче

Семейство парабол отличается неотрицательным добавочным слагаемым: ищите простую общую границу.

Возможная ошибка

Расстояние от центра окружности до параболы — ещё не расстояние между самими множествами: нужно вычесть радиус.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 6 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Функции и графики →

Тема, знания и приёмы

Функции и графики · Продвинутая подготовка

Понятие функции и графика
координатная плоскость

Приёмы решения: Координаты и проекции · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →