Шаг в будущее

Пусть $x,y,z$ — произвольные положительные числа, удовлетворяющие уравнению $x+y+z=12$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $xy+xz+yz$.

Уравнение $f(x)=0$, где $f(x)=x^2+px+q$, имеет ровно одно действительное решение, а уравнение $f(f(f(x)-2025)-2025)=0$ имеет ровно три различных действительных решения. Найдите решения уравнения $f(f(f(x)-2025)-2025)=0$. В ответ запишите сумму найденных решений.

Какое наименьшее значение может принимать функция $f(x)=2\cos x+3\sin x$ при $x$, удовлетворяющих неравенству

, и

. В ответ запишите квадрат найденного наименьшего значения.

На какое минимальное число натуральных слагаемых можно так разложить число $2025$, чтобы, складывая некоторые из этих слагаемых, можно было получить любое число от $1$ до $2025$?

Пусть $Q(x)=x^2+c$. При каких значениях параметра $c$ уравнение $Q(Q(x))=x$ имеет четыре различных решения?

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой $16x^2+16y^2-160x-80y+483=0$, а точка $B$ — одному из графиков семейства функций $y=(k^2+2k+2)(x^2-2x)+k^2+2k+1$, $k\in\mathbb R$? В ответ запишите сумму квадрата найденной наименьшей длины и значения $k$, при котором эта длина достигается.

В трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны $15^\circ$ и $75^\circ$, $BC:AD=3:5$. Длина отрезка, соединяющего точку пересечения диагоналей трапеции с серединой основания $AD$ равна $1$. Найдите площадь трапеции.

Найдите наибольшее значение параметра $a$, при котором уравнение $(x^2-a)^2+2(x^2-a)+(x-a)+2=0$ имеет ровно одно решение. В ответе укажите сумму найденного значения параметра $a$ и решения уравнения в этом случае.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ наклонены к плоскости основания $ABCD$ под углом $45^\circ$. На ребрах $AA_1$ и $CC_1$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно, причем $MA_1=2AM$, и $CN=2NC_1$. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки $M$ и $N$ параллельно диагонали основания $BD$ и образует с диагональю $B_1D$ угол, равный $\arccos\sqrt{5/8}$, если расстояние от прямой $BD$ до этой плоскости равно 3.