Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 11 кл., №7

Условие

В трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны $15^\circ$ и $75^\circ$ $BC:AD=3:5$ Длина отрезка, соединяющего точку пересечения диагоналей трапеции с серединой основания $AD$ равна $1$ Найдите площадь трапеции.

Основания трапеции относятся как

3:5

M

— середина

AD

X

— точка пересечения диагоналей. Отрезок

XM=1

выделен цветом.

О задаче · 11 класс · 16 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 7

Официальные баллы16 балловСумма максимумов по критериям: 98.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Продолжите боковые стороны до пересечения. Каким будет угол при новой вершине, если углы при основании равны $15^\circ$ и $75^\circ$

Подсказка 2

Соедините новую вершину с серединой большего основания. Точка пересечения диагоналей и середина меньшего основания лежат на этой же прямой. Используйте подобие и свойство медианы к гипотенузе.

Разобрать решение по шагам

Достроим трапецию до прямоугольного треугольника

Обозначим точку пересечения диагоналей через $X$ середину $AD$ — через $M$ середину $BC$ — через $L$ По условию $XM=1$

Углы при большем основании в сумме дают $15^\circ+75^\circ=90^\circ$ . Поэтому полезно продолжить боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $T$ в треугольнике $ATD$ угол при $T$ прямой. Можно считать $\angle A=15^\circ$ перестановка углов только зеркально отражает фигуру.

Из $BC\parallel AD$ треугольники $TBC$ и $TAD$ подобны с коэффициентом $3/5$ Соответствующие медианы лежат на одной прямой и имеют то же отношение:

\frac{TL}{TM}=\frac{BC}{AD}=\frac35,\qquad LM=TM-TL=\frac25TM.

Продолжены только боковые стороны. Новый прямой угол позволяет затем использовать медиану к гипотенузе.

Свяжем заданный отрезок с медианой большого треугольника

Треугольники $XAD$ и $XCB$ подобны: углы при $X$ вертикальные, а основания параллельны. Почему $X$ лежит на уже построенной прямой $ML$ Пусть прямая $XM$ пересекает $BC$ в точке $L_1$ Два подобия малых треугольников дают

\frac{AM}{CL_1}=\frac{XM}{XL_1}=\frac{MD}{L_1B}.

Поскольку $AM=MD$ получаем $CL_1=L_1B$ Значит, $L_1$ — середина $BC$ то есть это именно $L$

Отношение соответствующих медиан треугольников $XAD$ и $XCB$ равно отношению оснований:

\frac{XM}{XL}=\frac{AD}{BC}=\frac53.

Точка $X$ лежит между основаниями, поэтому между $M$ и $L$ При $XM=1$ находим

XL=\frac35,\qquad LM=XM+XL=1+\frac35=\frac85.

Сравним с $LM=\frac25TM$ из первого шага:

TM=\frac52\cdot\frac85=4.

Подобные треугольники выделены разными заливками. Отрезки XM и XL лежат на одной прямой и относятся как основания 5:3.

Найдём основание и высоту без координат

В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине. Поэтому

AM=DM=TM=4,\qquad AD=8.

Треугольник $AMT$ равнобедренный: $AM=TM$ Его углы при $A$ и $T$ равны $15^\circ$ значит,

\angle AMT=180^\circ-15^\circ-15^\circ=150^\circ.

Лучи $MA$ и $MD$ противоположны, поэтому $\angle TMD=30^\circ$

Опустим $TH\perp AD$ В прямоугольном треугольнике $MTH$ гипотенуза $TM=4$ а катет $TH$ лежит против угла $30^\circ$ Он равен половине гипотенузы:

TH=\frac{TM}{2}=2.

Это высота всего треугольника $ATD$ поэтому

S_{ATD}=\frac12\cdot AD\cdot TH=\frac12\cdot8\cdot2=8.

Сверху показано положение высоты TH в исходной фигуре. Снизу тот же треугольник MTH увеличен одинаково по обоим направлениям: TM=4, угол M=30°, поэтому TH=2.

Вычтем верхний треугольник

Треугольник $TBC$ подобен $TAD$ с коэффициентом длин $3/5$ Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон:

S_{TBC}=\left(\frac35\right)^2S_{TAD}=\frac9{25}\cdot8=\frac{72}{25}.

Трапеция — часть большого треугольника, оставшаяся после удаления $TBC$ Поэтому

S_{ABCD}=8-\frac{72}{25}=\frac{200-72}{25}=\frac{128}{25}.

Дополнительный способ: координаты и проекции

Координаты позволяют проверить тот же ответ через высоту трапеции. Это отдельный способ; основное решение выше использует только подобие, углы и медиану.

Выражаем основания через высоту

Пусть высота равна $h$ а основания $AD=5t$ $BC=3t$ Опустим $BH$ и $CJ$ перпендикулярно $AD$ Тогда $HJ=BC$ поэтому $AD-BC=AH+JD$ В прямоугольных треугольниках горизонтальный катет равен высоте, делённой на тангенс заданного угла:

AH=h\cot15^\circ,\qquad JD=h\cot75^\circ.

Следовательно,

2t=h(\cot15^\circ+\cot75^\circ)=4h,

поскольку $\cot15^\circ=2+\sqrt3$ $\cot75^\circ=2-\sqrt3$ Значит, $t=2h$ $AD=10h$ и $BC=6h$

Разность оснований составлена из двух горизонтальных проекций AH и JD.

Находим координаты пересечения диагоналей

Здесь координаты удобны потому, что почти все нужные расстояния уже выражены через одну высоту $h$ Можно считать угол при $A$ равным $15^\circ$ перестановка углов лишь зеркально отражает рисунок. Выберем $A=(0,0)$ $D=(10h,0)$ Из найденных проекций

B=((2+\sqrt3)h,h),\qquad C=((8+\sqrt3)h,h).

Пусть $X$ — пересечение диагоналей. Треугольники $AXD$ и $CXB$ подобны по двум углам: основания параллельны, углы при $X$ вертикальные. Поэтому

AX:XC=AD:BC=5:3.

Точка $X$ проходит от $A$ к $C$ пять из восьми равных частей диагонали. Поскольку $A=(0,0)$ обе координаты $C$ нужно умножить на $\frac58$

\begin{aligned}x_X&=\frac58(8+\sqrt3)h=5h+\frac{5\sqrt3}{8}h,\\[0.45em]y_X&=\frac58h.\end{aligned}

Середина $AD$ имеет координаты $M=(5h,0)$

Выделены подобные треугольники AXD и CXB. Это даёт долю 5/8 по обеим координатам.

Определяем высоту и площадь

Опустим из $X$ перпендикуляр $XN$ на $AD$ Разность абсцисс даёт горизонтальный катет, ордината — вертикальный:

MN=x_X-5h=\frac{5\sqrt3}{8}h,\qquad XN=\frac58h.

По теореме Пифагора

XM^2=\left(\frac{5\sqrt3}{8}h\right)^2+\left(\frac58h\right)^2=\frac{25}{16}h^2.

Так как $XM=1$ и $h>0$ имеем $h=\frac45$ Площадь трапеции

S=\frac{AD+BC}{2}\,h=8h^2=\frac{128}{25}.

Отдельно увеличен треугольник MXN: пропорции сохранены, гипотенуза XM равна 1.

Ответ

$\frac{128}{25}$

Главная идея

Продолжение боковых сторон превращает трапецию в прямоугольный треугольник. Подобие связывает заданный отрезок с медианой к гипотенузе, а медиана определяет масштаб всей фигуры.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если углы трапеции при одном основании в сумме дают $90^\circ$ продолжите боковые стороны. Заданную длину у пересечения диагоналей можно связать с серединами оснований через подобие.

Возможная ошибка

Точка $X$ не делит $ML$ пополам: отрезки $XM$ и $XL$ относятся как основания $5:3$ Коэффициент подобия $3/5$ для длин при переходе к площадям нужно возвести в квадрат.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 7 · задача 7 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Подобие треугольников и отношение их площадей
Медиана к гипотенузе
Катет против угла 30 градусов
Площадь треугольника через основание и высоту

Приёмы решения: Подобие треугольников · Дополнительное построение · Сравнение площадей по основанию и высоте

Задать вопрос по задаче →