Четыре решения у второй итерации квадратичной функции

Назовём промежуточное значение

Пусть $y=Q(x)$. Тогда условие $Q(Q(x))=x$ означает $Q(y)=x$: функция переводит $x$ в $y$, а затем возвращает обратно. Вместо раскрытия четвёртой степени запишем два похожих равенства:

Общий параметр $c$ исчезнет, если вычесть второе равенство из первого.

Вычитание разделяет решение на два случая

После вычитания и применения разности квадратов получаем

Поскольку $y-x=-(x-y)$, это равносильно

Поэтому либо $x=y$, либо $x+y=-1$. В первом случае $x=x^2+c$, во втором $-1-x=x^2+c$. Получились два квадратных уравнения:

Обратный переход тоже верен. В первом случае $y=x$ и оба равенства системы совпадают. Во втором $y=-1-x$, а из $x^2+x+c+1=0$ следует $y^2+c=x^2+2x+1+c=x$. Значит, никаких лишних решений при переходе к двум случаям не возникло.

Для четырёх корней нужны две пары различных корней

Каждый квадратный множитель даёт не больше двух действительных корней. Поэтому для четырёх различных корней оба дискриминанта обязаны быть положительными:

Первое условие даёт $c<\frac14$, второе — $c<-\frac34$. Вместе они равносильны более строгому условию $c<-\frac34$. Осталось убедиться, что две пары не пересекаются.

Исключим общий корень и проверим границу

Если один и тот же $x$ обнуляет оба множителя, вычитание первого равенства из второго даёт

Подставим в $x^2-x+c=0$:

Это значение уже исключено строгим неравенством. При $c=-\frac34$ второй множитель равен $(x+\frac12)^2$, а первый имеет корни $-\frac12$ и $\frac32$: всего два различных корня. Следовательно, ровно четыре различных решения получаются при