Наибольшее количество чисел

Выводим целочисленность и шаг

Для оценки больших $n$ рассматриваем $n\ge4$. Возьмём любые два числа $u,v$ и ещё два других $p,q$. Обе суммы $u+p+q$ и $v+p+q$ кратны $3$, поэтому $u-v$ — целое число, кратное $3$. Значит, все числа имеют вид $t+3k_i$, где $k_i$ целые. Среднее любых трёх равно $t+k_i+k_j+k_l$ и по условию целое, откуда $t$ целое. Все исходные числа целые, а разность двух различных чисел по модулю не меньше $3$.

Оцениваем сумму снизу

Пусть $a_1<a_2<\cdots<a_n$. Так как $a_1+a_2>10$ и сумма целая, $a_1+a_2\ge11$. Из $a_1\le a_2-3$ следует $2a_2-3\ge11$, то есть $a_2\ge7$. Тогда $a_i\ge7+3(i-2)$ при $i\ge3$. Поэтому

Уже при $n=36$ правая часть равна $2034>2025$ и далее возрастает. Следовательно, $n\le35$.

Предъявляем набор из тридцати пяти чисел

Возьмём $35$ чисел

В прогрессии от $6$ до $105$ ровно $34$ члена; их сумма $34(6+105)/2=1887$. Вместе с $138$ получаем $2025$. Все числа различны и кратны $3$, поэтому среднее любой тройки целое. Сумма двух наименьших $6+9=15>10$, значит условие выполнено для любой пары. Таким образом, $35$ достижимо.