Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 10 кл., №8

Условие

Найдите все значения параметра $a$ для каждого из которых уравнение $\frac{2x^2+(a+12)x-2a+18}{x^2+3x-4}=a$ имеет единственный корень. В ответе укажите сумму найденных значений параметра, округлив её до сотых.

О задаче · 10 класс · 14 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 8

Официальные баллы14 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сначала запишите запрещённые значения $x$ После умножения на знаменатель отдельно рассмотрите случай исчезновения коэффициента при $x^2$

Подсказка 2

При настоящем квадратном уравнении один допустимый корень получится либо при нулевом дискриминанте, либо когда один из двух корней запрещён.

Разобрать решение по шагам

Учитываем область определения

Знаменатель равен $(x+4)(x-1)$ поэтому $x\ne-4,1$ При этих ограничениях уравнение равносильно

F_a(x)=(2-a)x^2+(12-2a)x+2a+18=0.

Рассматриваем линейный и двойные корни

При $a=2$ получаем $8x+22=0$ то есть $x=-11/4$ допустимый единственный корень. При $a\ne2$ дискриминант равен

D=(12-2a)^2-4(2-a)(2a+18)=4a(3a+2).

Он равен нулю при $a=0$ или $a=-2/3$ Соответствующие двойные корни $-3$ и $-5/2$ допустимы.

Проверяем исключение одного из двух корней

Если $D>0$ ровно один допустимый корень останется только тогда, когда другой равен $1$ или $-4$ Вычислим

F_a(1)=32-a,\qquad F_a(-4)=2-6a.

Поэтому возможны $a=32$ и $a=1/3$ При $a=32$ корни равны $1$ и $-41/15$ при $a=1/3$ — $-4$ и $-14/5$ В каждом случае второй корень допустим. Если $D<0$ корней нет, а при $D>0$ без запрещённого корня их два: других случаев не осталось.

Причина единственного корня	Параметр	Допустимый корень
Квадратное уравнение стало линейным	$2$	$-11/4$
Два корня слились	$0$	$-3$
Два корня слились	$-2/3$	$-5/2$
Корень $-4$ исключён ОДЗ	$1/3$	$-14/5$
Корень $1$ исключён ОДЗ	$32$	$-41/15$

Складываем параметры

Все значения:

a\in\left\{-\frac23,\ 0,\ \frac13,\ 2,\ 32\right\}.

Их сумма

-\frac23+\frac13+2+32=\frac{101}{3}=33{,}666\ldots

После округления до сотых получаем $33{,}67$

Ответ

$a\in\{-\frac23,0,\frac13,2,32\}$ . Ответ: $33{,}67$

Главная идея

Перебрать все причины появления ровно одного допустимого корня: линейное уравнение, двойной корень, исключение корня из области определения.

Как заметить эту идею в другой задаче

Параметр стоит и в старшем коэффициенте, а знаменатель обращается в ноль: одного условия $D=0$ недостаточно.

Возможная ошибка

Решая только $D=0$ можно потерять случай линейного уравнения и случаи с запрещённым корнем.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 4 · задача 8 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 10 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Параметры и число корней →

Тема, знания и приёмы

Параметры и число корней · Нужна школьная база

Квадратные уравнения
дискриминант
область определения

Приёмы решения: Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →