Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 10 кл., №3

Условие

В треугольнике $MCT$ высота, проведенная из вершины $C$ делит сторону $MT$ в отношении $3:5$ считая от вершины $M$ Параллельно этой высоте проведена прямая, которая пересекает стороны $CT$ и $MT$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Найдите длину отрезка $KP$ если высота, проведенная из вершины $C$ равна $\sqrt{30}$ и площадь четырехугольника $MCKP$ относится к площади треугольника $KPT$ как $2:1$

Высота и параллельный ей отрезок заданы; их искомая длина не подписана.

О задаче · 10 класс · 9 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы9 баллов

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

От долей площади к отношению длин

Выбирайте, какую пару треугольников сравниваем. Вершины не двигаются: меняется выделение.

1. Разделение по условию

Треугольник $KPT$ занимает одну из трёх долей всей площади.

2. Общая высота

Основания $HT$ и $MT$ относятся как $5:8$ поэтому так же относятся площади $CHT$ и $CMT$

3. Подобие

Теперь сравниваем $KPT$ и $CHT$ площади относятся как $8:15$ а соответствующие высоты — как $\sqrt{8/15}$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Обозначьте основание высоты через $H$ Найдите долю площади треугольника $CHT$ в площади $MCT$

Подсказка 2

Треугольники $KPT$ и $CHT$ подобны. Отношение их площадей равно квадрату отношения высот $KP$ и $CH$

Разобрать решение по шагам

Сравниваем площади через основания

Пусть $H$ — основание высоты $CH$ Из $MH:HT=3:5$ следует $HT/MT=5/8$ Треугольники $CHT$ и $CMT$ имеют общую высоту $CH$ поэтому

\frac{S_{CHT}}{S_{CMT}}=\frac58.

По условию четырёхугольник занимает две доли, а треугольник $KPT$ — одну, так что $S_{KPT}=S_{CMT}/3$

Жёлтый треугольник занимает треть площади S всего треугольника MCT. Обе высоты и исходное деление основания показаны точно.

Используем подобие

Из $KP\parallel CH$ и общих лучей с вершиной $T$ получаем $\triangle KPT\sim\triangle CHT$ . Значит,

\left(\frac{KP}{CH}\right)^2=\frac{S_{KPT}}{S_{CHT}}=\frac{\frac13}{\frac58}=\frac8{15}.

При $CH=\sqrt{30}$ имеем

KP=\sqrt{30}\sqrt{\frac8{15}}=4.

Почему берём квадратный корень? При увеличении всех длин в $q$ раз и основание, и высота увеличиваются в $q$ раз, поэтому площадь увеличивается в $q^2$ раз.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$4$

Главная идея

Сначала сопоставить площади с общей высотой, затем перейти от площадей к длинам в подобных треугольниках.

Как заметить эту идею в другой задаче

Отрезок параллелен высоте, а данные связывают площади: ищите пару подобных прямоугольных треугольников.

Возможная ошибка

Нельзя считать $\frac{KP}{CH}$ равным отношению площадей: это отношение нужно извлечь из квадратного корня.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 10 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Площади прямоугольника и треугольника
основание и высота

Приёмы решения: Сравнение площадей по основанию и высоте · Подобие треугольников

Задать вопрос по задаче →