Математика · 2025/26 · Отборочный этап

Два насоса и их производительности

Условие

Из бассейна, содержащего 252 м3252\text{ м}^3 воды, откачали 84 м384\text{ м}^3. Затем насос заменили на более мощный и откачали оставшуюся часть воды. На всю работу было затрачено 2828 минут. При одновременной работе обоих насосов вся вода из бассейна была бы откачана за 1212 минут 3636 секунд. Какова производительность более мощного насоса? Ответ укажите в м3/мин\text{м}^3/\text{мин}.

О задаче · 10 класс · 9 баллов
Олимпиада
Шаг в будущее
Предмет / класс
Математика · 10 класс
Сезон / этап
2025/26 · Отборочный этап
Комплект
Вариант 1 · задача 2
Официальные баллы9 баллов
Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Переведите время совместной работы в минуты и найдите сумму производительностей.

Подсказка 2

Обозначьте производительность более мощного насоса через bb, а первого через 20−b20-b. Время равно объёму, делённому на производительность.

Разобрать решение по шагам
01

Находим суммарную производительность

Пусть aa и bb — производительности первого и второго насосов в м3/мин\text{м}^3/\text{мин}; тогда b>a>0b>a>0. Время 1212 минут 3636 секунд равно 12,612{,}6 минуты. Поэтому

a+b=25212,6=20.a+b=\frac{252}{12{,}6}=20.
02

Записываем время работы по очереди

Первый насос откачал 84 м384\text{ м}^3, второй — 252−84=168 м3252-84=168\text{ м}^3. Следовательно,

84a+168b=28.\frac{84}{a}+\frac{168}{b}=28.

Подставим a=20−ba=20-b и разделим на 2828:

320−b+6b=1.\frac3{20-b}+\frac6b=1.

При 0<b<200<b<20 можно умножить на b(20−b)b(20-b):

3b+6(20−b)=b(20−b).3b+6(20-b)=b(20-b).

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

b2−23b+120=0.b^2-23b+120=0.

Разложим на множители:

(b−15)(b−8)=0.(b-15)(b-8)=0.
03

Выбираем более мощный насос

При b=8b=8 получаем a=12a=12, что противоречит b>ab>a. При b=15b=15 получаем a=5a=5; проверка времени:

845+16815=16,8+11,2=28.\frac{84}{5}+\frac{168}{15}=16{,}8+11{,}2=28.
Ответ

15 м3мин15\,\frac{\text{м}^3}{\text{мин}}.

Главная идея

Совместная работа даёт сумму скоростей, последовательная — сумму времён.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задаче известны объёмы, время работы по очереди и время совместной работы.

Возможная ошибка

У квадратного уравнения получаются два корня, но условие «более мощный» выполняется только для одного.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 2 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 10 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Работа и производительность →
Тема, знания и приёмы

Работа и производительность · Нужна школьная база

  • Дроби
  • связь объёма работы, производительности и времени

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема