Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 10 кл., №4

Условие

Пятый член арифметической прогрессии равен 24. Известно, что сумма первых десяти её членов больше, чем 255, но меньше, чем 265. Найдите сумму первых 25 её членов

О задаче · 10 класс · 9 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы9 баллов

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Выразите $a_1$ через $d$ из значения пятого члена. Какой промежуток получится для $d$

Подсказка 2

Подставьте $a_1=24-4d$ в формулу $S_{25}$ и проверьте два разных допустимых значения $d$

Разобрать решение по шагам

Выразим первый член через разность

Пусть первый член прогрессии — $a_1$ разность — $d$ По условию

a_5=a_1+4d=24,\qquad a_1=24-4d.

Ни целочисленность членов, ни целочисленность $d$ в PDF не указаны.

Используем ограничение на сумму десяти членов

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна числу пар, умноженному на сумму крайних членов:

S_n=\frac n2\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr).

Подставим $n=10$ и найденный $a_1$

S_{10}=5\bigl(2(24-4d)+9d\bigr)=240+5d.

Поэтому

255<240+5d<265,\qquad15<5d<25,\qquad3<d<5.

Найдём все возможные суммы

Для первых $25$ членов:

\begin{aligned}S_{25}&=\frac{25}{2}\bigl(2(24-4d)+24d\bigr)\\[0.45em]&=\frac{25}{2}(48+16d)=600+200d.\end{aligned}

При $3<d<5$ получаем точно весь интервал

1200<S_{25}<1600.

Например, $d=\frac72$ даёт $S_{25}=1300$ и $S_{10}=257{,}5$ $d=4$ даёт $S_{25}=1400$ и $S_{10}=260$ Оба набора удовлетворяют исходным данным, поэтому единственного ответа нет.

При дополнительном условии целочисленности

Если отдельно потребовать $d\in\mathbb Z$ из $3<d<5$ останется $d=4$ а тогда $S_{25}=1400$ Так получается официальный ответ. Но это дополнительное условие отсутствует в напечатанной постановке и здесь не приписывается организатору.

Ответ

Буквально: любое $S_{25}\in(1200,1600)$ Если дополнительно $d\in\mathbb Z$ то $S_{25}=1400$

Главная идея

Неравенство о сумме задаёт интервал для разности прогрессии. Единственное число можно получить лишь при действительно заданном дискретном ограничении.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если задача просит одно число после двух строгих неравенств, проверьте, требуется ли целочисленность и не осталось ли свободного параметра.

Возможная ошибка

Из 3 < d < 5 нельзя заключать d = 4 для действительной разности. Например, d = 3,5 тоже допустима.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 4 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 10 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Примечания к источнику

Условие не требует целочисленности разности прогрессии. Поэтому данные задают интервал сумм; число 1400 становится единственным только при дополнительном ограничении.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Целые степени
числовые последовательности

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →