Шаг в будущее

Найдите количество натуральных чисел $n$, для которых число $n^4+2n^3+3n^2+1$ является квадратом целого числа.

Из бассейна, содержащего $252\text{ м}^3$ воды, откачали $84\text{ м}^3$. Затем насос заменили на более мощный и откачали оставшуюся часть воды. На всю работу было затрачено $28$ минут. При одновременной работе обоих насосов вся вода из бассейна была бы откачана за $12$ минут $36$ секунд. Какова производительность более мощного насоса? Ответ укажите в $\text{м}^3/\text{мин}$.

В треугольнике $MCT$ высота, проведенная из вершины $C$ делит сторону $MT$ в отношении $3:5$, считая от вершины $M$. Параллельно этой высоте проведена прямая, которая пересекает стороны $CT$ и $MT$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Найдите длину отрезка $KP$, если высота, проведенная из вершины $C$, равна $\sqrt{30}$ и площадь четырехугольника $MCKP$ относится к площади треугольника $KPT$ как $2:1$.

Пятый член арифметической прогрессии равен 24. Известно, что сумма первых десяти её членов больше, чем 255, но меньше, чем 265. Найдите сумму первых 25 её членов

Имеются два сплава, состоящие из алюминия, свинца и серы. Известно, что первый сплав содержит $45\%$ алюминия, а второй — $20\%$ серы. Процентное содержание свинца во втором сплаве в $2$ раза выше, чем в первом сплаве. Сплавив $600\text{ кг}$ первого сплава и $150\text{ кг}$ второго, получили новый сплав, в котором оказалось $46\%$ алюминия. Определите, сколько кг серы содержится в получившемся новом сплаве.

Решите уравнение

. Если оно имеет более одного корня, то в ответе укажите их произведение.

На поверхность моря с самолета-разведчика были сброшены шесть радаров. Первые два радара оказались на поверхности моря в точках $A$ и $B$, расстояние между которыми $12\text{ км}$, третий радар оказался в точке $N$, внутренней для отрезка $AB$, четвертый радар — в точке $C$, являющейся вершиной треугольника $ABC$. Пятый и шестой радары, как оказалось, были сброшены в центры описанных окружностей около треугольников $CAN$ и $CBN$, соответственно. Найдите наименьшее возможное расстояние между точками расположения пятого и шестого радаров на поверхности моря. Поверхность моря считать плоской, положение радаров на поверхности моря считать неизменным, ответ записать в километрах без указания единиц измерения.

Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых уравнение $\frac{2x^2+(a+12)x-2a+18}{x^2+3x-4}=a$ имеет единственный корень. В ответе укажите сумму найденных значений параметра, округлив её до сотых.

На доске находится $n$ различных чисел, сумма которых равна $2025$. Про эти числа известно, что любые $3$ имеют целое среднее арифметическое, а сумма любых двух больше $10$. Определите какое наибольшее количество чисел могло быть?