Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 10 кл., №1

Условие

Найдите количество натуральных чисел $n$ для которых число $n^4+2n^3+3n^2+1$ является квадратом целого числа.

О задаче · 10 класс · 9 баллов

Официальные баллы9 баллов

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сравните выражение с квадратом $n^2+n$

Подсказка 2

Следующий целый квадрат — $(n^2+n+1)^2$ Найдите разность каждого из этих квадратов и данного выражения.

Разобрать решение по шагам

Старшие члены подсказывают число $m=n^2+n$ Имеем

m^2=n^4+2n^3+n^2.

Поэтому данное число больше $m^2$ на $2n^2+1>0$

Раскроем квадрат:

(m+1)^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1.

Он больше данного числа на $2n>0$ поскольку $n\ge1$ Значит,

m^2<n^4+2n^3+3n^2+1<(m+1)^2.

Между соседними целыми квадратами другого целого квадрата нет.

Ответ

$0$

Главная идея

Показать, что число строго лежит между квадратами двух последовательных целых чисел.

Как заметить эту идею в другой задаче

У многочлена старшие члены совпадают с началом раскрытия квадрата $(n^2+n)^2$

Возможная ошибка

Проверка нескольких значений $n$ не доказывает отсутствие решений. Нужны строгие оценки для каждого натурального $n$

Источник и примечания

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 10 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Приёмы решения: Оценка и достижимость