Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 10 кл., №7

Условие

На поверхность моря с самолета-разведчика были сброшены шесть радаров. Первые два радара оказались на поверхности моря в точках $A$ и $B$ расстояние между которыми $12\text{ км}$ третий радар оказался в точке $N$ внутренней для отрезка $AB$ четвертый радар — в точке $C$ являющейся вершиной треугольника $ABC$ Пятый и шестой радары, как оказалось, были сброшены в центры описанных окружностей около треугольников $CAN$ и $CBN$ соответственно. Найдите наименьшее возможное расстояние между точками расположения пятого и шестого радаров на поверхности моря. Поверхность моря считать плоской, положение радаров на поверхности моря считать неизменным, ответ записать в километрах без указания единиц измерения.

Исходная геометрия; дополнительное построение показано в решении.

О задаче · 10 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 7

Официальные баллы12 баллов

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Оценка и положение, где она достигается

Это два допустимых положения радаров, а не движение из условия. Сравните проекции центров.

1. Проекции дают нижнюю границу

Наклонный отрезок $O_1O_2$ длиннее своей горизонтальной проекции $M_1M_2=6$

2. Центры на одной высоте

При $CN\perp AB$ центры становятся серединами гипотенуз. Их соединяет средняя линия длиной $6$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Центр окружности находится на серединном перпендикуляре к любой её хорде. Рассмотрите хорды $AN$ и $NB$

Подсказка 2

Проекции двух центров на прямую $AB$ — середины $AN$ и $NB$ Может ли расстояние центров быть меньше расстояния этих проекций?

Разобрать решение по шагам

Находим расстояние между проекциями

Обозначим центры окружностей через $O_1,O_2$ середины $AN,NB$ — через $M_1,M_2$ Радиусы к концам хорды равны, поэтому $O_1M_1\perp AB$ и $O_2M_2\perp AB$ При этом

M_1M_2=\frac{AN}{2}+\frac{NB}{2}=\frac{AB}{2}=6.

Отрезок не короче своей проекции, значит $O_1O_2\ge6$

Строим положение с равенством

Выберем точку $C$ на перпендикуляре к $AB$ проведённом через внутреннюю точку $N$ Тогда треугольники $CAN$ и $CBN$ прямоугольные с прямым углом при $N$ Их центры описанных окружностей — середины гипотенуз $CA$ и $CB$ Отрезок между этими серединами — средняя линия треугольника $CAB$ поэтому его длина равна $AB/2=6$ Нижняя оценка достигается.