Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №9 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Система, состоящая из лёгкой нерастяжимой нити $AB$ закреплённой в точке $A$ и однородного стержня $BC$ удерживается в покое в положении, показанном на рисунке, $\cos\alpha = 0{,}8$ На стержне в точке $B$ сидит насекомое. Систему освобождают, и она приходит в плоское движение. Конец $C$ стержня движется по гладкой горизонтальной плоскости. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Найдите отношение вертикальной силы, с которой насекомое действует на стержень в нижней точке траектории, к силе тяжести насекомого. В ответе приведите десятичную дробь с округлением до десятых.

Дано: $\cos\alpha = 0{,}8$ $g = 10$ м/с $^2$ По рисунку: точки $A$ (потолок) и $C$ (пол) лежат на одной вертикали, нить $AB$ и стержень $BC$ составляют с вертикалью одинаковый угол $\alpha$ Насекомое сидит в точке $B$ его масса в условии не задана, считаем её малой по сравнению с массой стержня. Пол гладкий. Найти: $\dfrac{N_y}{m_0 g}$ в нижней точке траектории насекомого.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Как сила давления насекомого зависит от угла α

Меняйте cos α (начальный наклон) и массу насекомого μ = m₀/m: как меняется отношение вертикальной силы к весу, и насколько ошибается «маятниковая» формула?

cos α (начальный угол с вертикалью; не меньше 0,5 — иначе B ударится о пол раньше нижней точки)μ = m₀/m (μ = 0 — предел малой массы)

Модель загружается…

Модель использует выведенную формулу (поступательное движение стержня внизу и сохранение энергии), а натянутость нити и контакт C с полом проверены численно лишь для набора значений (все четыре варианта при μ = 0 и μ = 0,1; 1; 2 при cos α = 0,8) — график иллюстрирует зависимость, а не доказывает её. Значение μ = 0 означает предел μ → 0⁺ при положительной массе насекомого, а не деление на вес буквально безмассового тела. При cos α = 0,5 показано предельное касание пола с нулевой нормальной скоростью; дальнейший контакт не моделируется.

Прежде чем читать решение, ответьте себе на три вопроса. По какой линии движется точка $B$ пока нить натянута? Куда направлено ускорение точки $B$ в нижней точке этой линии — и какая его составляющая нужна, если спрашивают только про вертикальную силу? И главное: как движется стержень в тот момент, когда $B$ проходит низшую точку, — вращается он или нет? Ответив на третий вопрос, вы поймёте, какой закон даст скорость $B$ внизу.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Точка $B$ (вместе с насекомым) движется по окружности радиуса $L = AB$ с центром в $A$ В нижней точке окружности вертикальная составляющая ускорения — это центростремительное ускорение $\dfrac{v_B^2}{L}$ а касательное ускорение горизонтально и в вертикальное уравнение Ньютона не входит. Значит, нужна только скорость $v_B$ внизу, и её даёт закон сохранения энергии (нить и гладкий пол работы не совершают). Но чтобы записать кинетическую энергию стержня, сначала выясните, как он движется в этот момент.

Подсказка 2

Внизу скорость $\vec v_B$ горизонтальна (касательная к окружности), скорость $\vec v_C$ тоже горизонтальна (конец $C$ скользит по полу). У твёрдого стержня проекции скоростей концов на его ось равны: $v_B\cos\gamma = v_C\cos\gamma$ , где $\gamma$ — угол стержня с горизонтом, причём $\cos\gamma \ne 0$ (стержень внизу наклонён). Отсюда $v_C = v_B$ в этот момент стержень движется поступательно, $\omega = 0$ и его кинетическая энергия равна $\dfrac{m v_B^2}{2}$ Теперь подумайте, на сколько при этом опустился центр стержня — помните, что конец $C$ всё время остаётся на полу.

Разобрать решение по шагам

Геометрия: нить и стержень одинаковой длины, $B$ ходит по окружности

Существенное допущение: масса насекомого $m_0$ положительна, но пренебрежимо мала по сравнению с массой стержня $m$ ( $m_0/m\to0^+$ ). В исходном условии это соотношение не задано. Принимаем его до расчёта движения; при конечной массе насекомого ответ изменится — это показано в исследовании после решения.

На рисунке $A$ и $C$ лежат на одной вертикали, а нить $AB$ и стержень $BC$ составляют с ней один и тот же угол $\alpha$ Горизонтальные проекции $AB$ и $BC$ равны (обе равны расстоянию от $B$ до вертикали $AC$ ): $AB\sin\alpha = BC\sin\alpha$ , поэтому $AB = BC = L$ Расстояние от потолка до пола $H = 2L\cos\alpha$

Пока нить натянута, точка $B$ (и насекомое на ней) движется по окружности радиуса $L$ с центром в $A$ Нижняя точка траектории — прямо под $A$ на глубине $L$ её высота над полом

h_B = H - L = L(2\cos\alpha - 1) = 0{,}6L > 0,

так что стержень до пола не достаёт и в нижней точке наклонён: его вертикальная проекция $0{,}6L$ горизонтальная $\sqrt{L^2 - 0{,}36L^2} = 0{,}8L$ . Почему обе связи работают? Сразу после освобождения стержень оседает под собственным весом: нижним концом он опирается на пол, а верхним тянет точку $B$ вниз. Поэтому нить натянута (она держит часть веса стержня), а пол давит на $C$ вверх (он держит остальное). Что так остаётся на всём движении, подтверждено численной проверкой — см. раздел проверки.

Как движется стержень в нижней точке: поступательно

В нижней точке окружности скорость $\vec v_B$ горизонтальна (касательная к окружности). Скорость $\vec v_C$ горизонтальна всегда — конец $C$ скользит по полу. Стержень нерастяжим, поэтому проекции скоростей его концов на ось $BC$ равны. Пусть $\gamma$ — угол стержня с горизонтом; тогда

v_B\cos\gamma = v_C\cos\gamma.

Стержень внизу наклонён:

\cos\gamma = \dfrac{0{,}8L}{L} = 0{,}8 \ne 0,

поэтому на $\cos\gamma$ можно сократить:

v_C = v_B.

Обе точки стержня имеют одинаковые скорости — значит, в этот момент стержень движется поступательно, его угловая скорость $\omega = 0$ То же видно через мгновенный центр скоростей: перпендикуляры к $\vec v_B$ и $\vec v_C$ — две вертикали, они параллельны, МЦС «в бесконечности», т.е. поступательное движение. Поэтому кинетическая энергия стержня внизу равна просто $\dfrac{m v_B^2}{2}$ без вращательного слагаемого, а все точки стержня имеют скорость $v_B$

Нижняя точка траектории

B

обе скорости горизонтальны и направлены влево, их проекции на ось стержня

BC

равны, поэтому

v_C = v_B

и стержень в этот момент движется поступательно (

\omega = 0

). Серым показаны начальное положение и пройденная точкой

B

дуга; внизу

B

находится на высоте

0{,}6L

над полом.

Закон сохранения энергии: скорость $v_B$ внизу

Внешние силы: тяжесть, натяжение нити в $B$ и реакция гладкого пола в $C$ Точка $A$ неподвижна, нить нерастяжима — сила нити работы над системой не совершает; реакция пола перпендикулярна скорости $\vec v_C$ — тоже не совершает. Значит, механическая энергия сохраняется. Насекомое лёгкое, на энергетический баланс не влияет.

Высота центра стержня — среднее высот $B$ и $C$ причём $y_C = 0$ всегда. Высота точки $B$ в начале и внизу:

y_B^{\text{нач}} = H - L\cos\alpha = L\cos\alpha,

y_B^{\text{низ}} = H - L = L(2\cos\alpha-1).

Центр опустился на

\Delta h = \dfrac{L\cos\alpha - L(2\cos\alpha - 1)}{2} = \dfrac{L(1-\cos\alpha)}{2}.

С учётом $\omega = 0$ внизу:

\dfrac{m v_B^2}{2} = m g\,\dfrac{L(1-\cos\alpha)}{2},

откуда

v_B^2 = gL(1-\cos\alpha).

Обратите внимание: это вдвое меньше, чем для математического маятника той же длины ( $2gL(1-\cos\alpha)$ ), потому что центр стержня опускается вдвое меньше, чем точка $B$

Энергия: точка

B

опускается на

L(1 - \cos\alpha)

а центр стержня (

M_0

в начале,

M

внизу) — только на

\Delta h = \dfrac{L(1 - \cos\alpha)}{2}

, потому что конец

C

остаётся на полу.

Второй закон Ньютона для насекомого в нижней точке

На насекомое массы $m_0$ действуют сила тяжести $m_0\vec g$ и сила со стороны стержня $\vec N$ Насекомое движется по окружности радиуса $L$ вокруг $A$ в нижней точке нормаль к траектории вертикальна, поэтому вертикальная составляющая ускорения — центростремительная, $a_y = \dfrac{v_B^2}{L}$ вверх. Касательное ускорение здесь горизонтально (и, вообще говоря, не равно нулю — поэтому в условии и спрашивают только о вертикальной силе). Проекция на вертикаль:

N_y - m_0 g = m_0\dfrac{v_B^2}{L}.

Делим на $m_0 g$

\dfrac{N_y}{m_0 g} = 1 + \dfrac{v_B^2}{gL}.

Подставляем $v_B^2 = gL(1-\cos\alpha)$ из шага 3:

\dfrac{N_y}{m_0 g} = 1 + (1-\cos\alpha)

= 2 - \cos\alpha.

По третьему закону Ньютона насекомое давит на стержень с такой же по модулю вертикальной силой $N_y$ направленной вниз.

Силы на насекомое в нижней точке (масштаб:

AB = L

потолок–пол

= 2L\cos\alpha

B

на высоте

0{,}6L

). Скорость

v

горизонтальна; вертикальная составляющая ускорения — центростремительная

\dfrac{v^2}{L}

направлена к

A

горизонтальное (касательное) ускорение в вертикальное уравнение не входит.

Подстановка и округление

\dfrac{N_y}{m_0 g} = 2 - \cos\alpha = 2 - 0{,}8 = 1{,}2.

Ответ уже дан с точностью до десятых: $1{,}2$ Значение $g = 10$ м/с $^2$ в ответ не входит — отношение сил безразмерно и зависит только от угла.

Проверка

Размерность: $\dfrac{v_B^2}{gL}$ безразмерно, ответ — чистое число. Предельный случай $\alpha \to 0$ система висит вертикально и не движется, $v_B = 0$ отношение $\to 1$ — насекомое давит только своим весом, как и должно быть. Случай $\cos\alpha = 0{,}5$ в нижней точке $B$ касается пола, стержень ложится горизонтально, формула даёт $1{,}5$ при $\cos\alpha < 0{,}5$ точка $B$ ударилась бы о пол раньше нижней точки, и задача в такой постановке теряет смысл — поэтому $\cos\alpha \ge 0{,}5$ Независимая численная проверка: движение системы с одной степенью свободы (угол нити $\varphi$ ) проинтегрировано с точными связями « $B$ на окружности, $C$ на полу, $|BC| = L$ »; при $\varphi = 0$ получено $\omega_{\text{стержня}} = 0$ , $v_B^2/(gL) = 0{,}2000$ вертикальное ускорение $B$ равно $0{,}2g$ (отношение $1{,}2000$ ), а горизонтальное ускорение $B$ отлично от нуля ( $a_{Bx} = -0{,}075\,g$ — отношение от $L$ не зависит). Вдоль всего размаха (от отпускания до противоположного крайнего положения) натяжение нити и реакция пола положительны: нить не провисает, $C$ не отрывается — модель применима для всех четырёх вариантов.

Ответ

$\dfrac{N_y}{m_0 g} = 2 - \cos\alpha = 1{,}2$

Главная идея

В нижней точке окружности вертикальное ускорение насекомого — чисто центростремительное $v_B^2/L$ а скорость $v_B$ даёт энергия; ключ к энергии — заметить, что в этот момент стержень не вращается ( $v_C = v_B$ обе скорости горизонтальны), так что его кинетическая энергия равна $mv_B^2/2$ а центр опускается лишь на половину спуска точки $B$

Шарнирная цепочка «нить + стержень», один конец которой скользит по гладкой плоскости, и вопрос о силе в характерной точке (низшей/высшей). Признаки приёма: (1) точка на нити движется по окружности — ищем её скорость и центростремительное ускорение; (2) если у стержня скорости обоих концов параллельны и не перпендикулярны оси, стержень в этот миг движется поступательно, вращательная энергия исчезает; (3) спрашивают только одну проекцию силы — значит, другую (касательное ускорение) считать не нужно. Сохранение энергии работает, потому что нить закреплена, а пол гладкий.

Где легко ошибиться

Считать точку $B$ грузом математического маятника: « $B$ опустилась на $L(1-\cos\alpha)$ значит $v_B^2 = 2gL(1-\cos\alpha)$ », и получить $1 + 2(1-\cos\alpha) = 1{,}4$ . Ошибка физическая: масса системы — это стержень, а не точка $B$ его центр масс опускается только на $L(1-\cos\alpha)/2$ потому что нижний конец $C$ остаётся на полу. Правильный баланс $mv_B^2/2 = mgL(1-\cos\alpha)/2$ даёт $v_B^2 = gL(1-\cos\alpha)$ — вдвое меньше, и отношение $1{,}2$ Симметричная ошибка в другую сторону — добавить в энергию внизу вращательное слагаемое $I\omega^2/2$ хотя $\omega = 0$

Источник и авторство

Физтех · физика · 10 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 9.1 (ID 6021).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Продвинутая подготовка

Механическая энергия
Кинематика стержня
Центростремительное ускорение

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →