Задача 6. Три блока и трение

Шаг 1. Топология нити и кинематическая связь

Сначала разберёмся, как устроена нить, — без этого нельзя писать ни одно уравнение. Нить идёт от груза $m$ вверх, через большой неподвижный блок, затем горизонтально вправо к подвижному (самому правому) блоку, огибает его, возвращается по нижнему горизонтальному участку к маленькому неподвижному блоку, огибает его и по среднему горизонтальному участку идёт к оси подвижного блока, где и закреплён её конец. Итого подвижный блок соединён с неподвижными ТРЕМЯ горизонтальными участками одной и той же нити.

Пусть груз $M$ сместился влево на $x$. Правый блок привязан к $M$ горизонтальной нитью, поэтому он тоже сместился влево на $x$. Каждый из трёх горизонтальных участков стал короче на $x$ (их левые концы — на неподвижных блоках). Нить нерастяжима, поэтому вертикальный участок с грузом $m$ удлинился на $3x$: груз $m$ опустился на $3x$.

Изменение положения груза $m$ в любой момент втрое больше изменения положения груза $M$; для этой связи старт из покоя не нужен. Значит, и скорости, и ускорения грузов тоже отличаются ровно в 3 раза:

Здесь $a_M$ — ускорение груза $M$ (влево), $a_m$ — ускорение груза $m$ (вниз).

Шаг 2. Силы на подвижный блок: невесомый блок передаёт $3T$

Нить лёгкая, блоки лёгкие, трения в осях нет — значит, натяжение первой нити одинаково по всей её длине; обозначим его $T$. На правый блок эта нить действует тремя силами по $T$, направленными влево (два участка, огибающих блок, и конец, привязанный к оси). Вправо блок тянет вторая нить с натяжением $T_2$.

Масса блока равна нулю. Если бы результирующая сила на него была отлична от нуля, второй закон Ньютона $\vec F = m_{\text{бл}}\vec a$ при $m_{\text{бл}} = 0$ потребовал бы бесконечного ускорения, чего в реальной системе нет: блок движется вместе с грузом $M$ с конечным ускорением. Поэтому результирующая обязана быть нулём:

По той же причине (невесомая нить) натяжение второй нити одинаково на обоих её концах, и груз $M$ тянется влево силой $3T$.

Шаг 3. Второй закон Ньютона для грузов

Положительное направление для $a_m$ — вниз, по движению груза $m$; на него действуют $m\vec g$ вниз и $\vec T$ вверх:

Положительное направление для $a_M$ — влево, по движению груза $M$; по горизонтали на него действуют $3T$ влево и сила трения скольжения $\mu N$ вправо (против движения), по вертикали $N = Mg$ (плоскость горизонтальна, нить к $M$ горизонтальна, вертикального ускорения нет):

Вместе со связью $a_m = 3a_M$ из шага 1 получаем три уравнения на три неизвестные $T$, $a_m$, $a_M$.

Шаг 4. Решаем систему и получаем формулу

Из первого уравнения, с учётом $a_m = 3a_M$:

Подставим это во второе уравнение:

Раскроем скобки и соберём слагаемые с $a_M$ справа:

Отсюда

Разделим числитель и знаменатель на $M$ и обозначим $k = \dfrac{m}{M}$:

Эта формула относится к скольжению $M$ влево. При $3k > \mu$ скорость растёт; при $3k = \mu$ ускорение нулевое и уже движущиеся грузы движутся равномерно; при $3k < \mu$ ускорения отрицательны в выбранных направлениях — грузы тормозят до остановки. Дальнейшее движение зависит от трения покоя. Для старта из покоя потребовалось бы проверить $3k > \mu_s$, а не $3k > \mu_k$.

Шаг 5. Подставляем числа и округляем

Для выбранного режима скольжения $3k = 1{,}2 > \mu = 0{,}2$, поэтому ускорение положительно: груз $m$ ускоряется вниз, а $M$ — влево.

Подстановка:

С округлением до десятых: $a_m \approx 6{,}5\ \text{м/с}^2$.

Попутно получаем $a_M = a_m/3 \approx 2{,}2\ \text{м/с}^2$. Натяжение нити $T = mg - m a_m \approx 0{,}35\,mg$ — меньше $mg$, как и должно быть для груза, ускоренно опускающегося вниз.