Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №10 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке к условию, сопротивления $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R_5 = 5$ Ом. К клеммам $AB$ подключают источник постоянного напряжения $U = 10$ В. Какая мощность будет рассеиваться в этой цепи? В ответе укажите целое число [Вт].

Дано: Вариант 1: $R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R=5$ Ом, $U=10$ В. Найти: мощность $P$ рассеиваемую в цепи, в целых ваттах.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Мост Уитстона: когда перемычка не важна

Почему в сбалансированном мосте перемычка $R_5$ не влияет на мощность — и что случится, если сделать $R_1$ не равным остальным?

Напряжение U, ВR₂ = R₃ = R₄ = R, ОмR₁ (меняйте, чтобы разбалансировать мост), ОмR₅ (перемычка), Ом

Модель загружается…

Модель использует замкнутые формулы моста, выведенные методом узловых потенциалов для идеального источника и линейных резисторов; картинка иллюстрирует распределение токов, но не заменяет доказательство баланса из шага 2.

Прежде чем считать, выпишите для каждого из пяти резисторов, между какими двумя узлами он включён (узлов всего четыре: $A$ $B$ и ещё два). Перерисуйте схему по этому списку — и она станет узнаваемой. Попробуйте довести до числа сами, а потом сверьтесь с подсказками.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Не читайте схему «слева направо» — резисторы здесь не стоят цепочкой. Клемма $A$ по нижнему проводу соединена не только с $R_1$ но и с нижним концом $R_4$ а клемма $B$ — с серединой верхней линии (между $R_2$ и $R_3$ ). Выпишите узлы и перерисуйте: от $A$ к $B$ ведут два пути по два резистора, а $R_5$ — перемычка между их серединами. Это мост Уитстона; вспомните, при каком условии ток через перемычку равен нулю.

Подсказка 2

Положите $\varphi_A=U$ $\varphi_B=0$ и временно считайте, что через $R_5$ ток не идёт. Тогда каждый путь от $A$ к $B$ — делитель напряжения. Для точки $X$ между $R_1$ и $R_2$

\varphi_X=U\cdot\dfrac{R_2}{R_1+R_2}.

Для точки $Z$ между $R_4$ и $R_3$

\varphi_Z=U\cdot\dfrac{R_3}{R_4+R_3}.

Сравните $\varphi_X$ и $\varphi_Z$ — и решите, что делать с $R_5$ дальше.

Разобрать решение по шагам

Определяем узлы: кто с кем соединён

Главная ловушка задачи — сам рисунок. Резисторы на нём нельзя читать как цепочку «слева направо»: соединения проводами важнее, чем расположение на листе. Выясним, между какими узлами включён каждый резистор. Клемма $A$ проводом соединена с левым концом $R_1$ и по нижней линии — с нижним концом $R_4$ это один узел, назовём его $A$ Клемма $B$ вертикальным проводом соединена с точкой между $R_2$ и $R_3$ — узел $B$ Остаются два узла: $X$ — между $R_1$ и $R_2$ (сюда же приходит левый конец $R_5$ ) и $Z$ — правый конец $R_3$ верх $R_4$ и правый конец $R_5$ Итого: $R_1$ стоит между $A$ и $X$ $R_2$ — между $X$ и $B$ $R_4$ — между $A$ и $Z$ $R_3$ — между $Z$ и $B$ $R_5$ — между $X$ и $Z$ Перерисуем схему по этому списку (рисунок ниже): от $A$ к $B$ ведут два пути, $A\to X\to B$ и $A\to Z\to B$ а $R_5$ — перемычка между их серединами. Это мост Уитстона.

Та же цепь, перерисованная по узлам: от

A

B

ведут два пути — через

X

(

R_1

R_2

) и через

Z

(

R_4

R_3

);

R_5

— перемычка между

X

Z

Это мост Уитстона.

Мост сбалансирован: концы $R_5$ при одном потенциале

Примем $\varphi_A=U$ $\varphi_B=0$ Предположим на минуту, что ток через перемычку $R_5$ равен нулю. Тогда по верхнему пути $A\to X\to B$ через $R_1$ и $R_2$ течёт один и тот же ток — это делитель напряжения:

\varphi_X=U\cdot\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=U\cdot\dfrac{R}{2R}=\dfrac{U}{2}.

Нижний путь $A\to Z\to B$ — точно такой же делитель:

\varphi_Z=U\cdot\dfrac{R_3}{R_4+R_3}=\dfrac{U}{2}.

Концы перемычки оказались при одинаковом потенциале, значит ток через неё

I_5=\dfrac{\varphi_X-\varphi_Z}{R_5}=0

— ровно то, что мы предположили. Предположение самосогласованно, а распределение токов в линейной цепи единственно (законы Кирхгофа дают единственное решение), поэтому так всё и есть: $R_5$ обесточен. Тот же вывод подсказывает симметрия: при равных сопротивлениях перестановка узлов $X\leftrightarrow Z$ не меняет цепь, значит $\varphi_X=\varphi_Z$ без всяких вычислений. Общее условие баланса, которое стоит запомнить:

\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{R_4}{R_3}.

Здесь все сопротивления равны, и оно выполняется автоматически.

Потенциалы узлов:

\varphi_X=\varphi_Z=U/2

поэтому

I_5=0

(перемычка показана пунктиром). По каждой ветви течёт одинаковый ток

1

А (для варианта 1).

Эквивалентное сопротивление без перемычки

Раз ток через $R_5$ нулевой, перемычку можно убрать: токи в остальных резисторах от этого не изменятся (можно и закоротить $X$ с $Z$ — потенциалы и так равны, результат тот же). Остаются две параллельные ветви, в каждой два резистора последовательно:

R_{AXB}=R_1+R_2=2R,\qquad R_{AZB}=R_4+R_3=2R.

Две одинаковые ветви параллельно:

\dfrac{1}{R_{\text{экв}}}=\dfrac{1}{2R}+\dfrac{1}{2R}=\dfrac{1}{R}\quad\Rightarrow\quad R_{\text{экв}}=R=5\ \text{Ом}.

Мощность, рассеиваемая в цепи

Вся мощность, которую отдаёт источник, выделяется на резисторах — других потребителей в цепи нет, провода и источник считаем идеальными. Для участка с сопротивлением $R_{\text{экв}}$ под напряжением $U$

P=\dfrac{U^2}{R_{\text{экв}}}=\dfrac{U^2}{R}.

Подставляем:

P=\dfrac{10^2}{5}=\dfrac{100}{5}=20\ \text{Вт}.

Число целое, округление не требуется.

Ответ: $P=20$ Вт.

Проверка

Размерность: $\text{В}^2/\text{Ом}=\text{В}\cdot\text{А}=\text{Вт}$ — верно.

Второй способ — через токи. Полный ток источника:

I=\dfrac{U}{R_{\text{экв}}}=\dfrac{10}{5}=2\ \text{А}.

Ветви одинаковы, поэтому по каждой течёт $1$ А. На каждом из четырёх резисторов выделяется

P_k=I_k^2R=1^2\cdot5=5\ \text{Вт},

а на $R_5$ — ноль. Сумма:

P=4\cdot5=20\ \text{Вт}

— совпало.

Предельная проверка: при балансе ответ не должен зависеть от $R_5$ Если перемычку убрать ( $R_5\to\infty$ ), остаются две ветви по $2R$ включённые параллельно:

R_{\text{экв}}=\dfrac{2R\cdot2R}{2R+2R}=R.

Если $R_5\to0$ (перемычка — просто провод), узлы $X$ и $Z$ сливаются. Тогда $R_1$ и $R_4$ стоят параллельно между $A$ и общим узлом, $R_2$ и $R_3$ — параллельно между общим узлом и $B$ и эти пары соединены последовательно:

R_{\text{экв}}=\dfrac R2+\dfrac R2=R.

Результат один и тот же, как и должно быть для сбалансированного моста.

Ответ

20 Вт

Главная идея

Схема — сбалансированный мост Уитстона: обе половины моста делят напряжение $U$ в одинаковой пропорции, поэтому концы $R_5$ находятся при одном потенциале, ток через перемычку нулевой, и цепь сводится к двум параллельным ветвям по $2R$ то есть к $R_{\text{экв}}=R$

Если резисторы на рисунке «не складываются» в очевидные последовательные и параллельные группы, перечислите узлы и укажите, между какими двумя узлами стоит каждый резистор, затем перерисуйте. Пять резисторов, четыре узла, два пути от клеммы к клемме и перемычка между их серединами — это мост. Сразу проверяйте пропорцию $R_1/R_2=R_4/R_3$ только при балансе перемычку законно убрать или закоротить; если пропорция не выполняется, через перемычку идёт ток, и $R_{\text{экв}}$ зависит от $R_5$ — тогда нужен метод узловых потенциалов или правила Кирхгофа.

Где легко ошибиться

Читать схему по рисунку, а не по соединениям: считать $R_1,R_2,R_3$ последовательной цепочкой, $R_5$ — параллельным цепочке $R_2+R_3$ (на рисунке перемычка как раз нависает над этими двумя резисторами), а $R_4$ — чем-то отдельным, не заметив, что клемма $A$ по нижнему проводу соединена с $R_4$ а клемма $B$ — с серединой верхней линии. Получается другая топология и другая мощность; лекарство — всегда сначала выписать узлы и перерисовать цепь.

Источник и авторство

Физтех · физика · 10 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 10.1 (ID 6025).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Закон Ома
Делитель напряжения
Мощность тока

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →