Задача 3. Бусинка на нити между зарядами

Силы на бусинку и ключевое свойство нити

Шарики закреплены, поэтому их равновесие обеспечивают опоры, и оно ничего нам не говорит. Равновесие бусинки — вот что фиксирует форму треугольника. На бусинку с зарядом $q$ действуют четыре силы:

• кулоновская сила отталкивания от $Q_1$: $F_1 = k\dfrac{Q_1 q}{a^2}$, где $a$ — расстояние от бусинки до $Q_1$; по закону Кулона она направлена вдоль прямой $Q_1$—бусинка, от шарика;
• кулоновская сила отталкивания от $Q_2$: $F_2 = k\dfrac{Q_2 q}{b^2}$, где $b$ — расстояние до $Q_2$; направлена вдоль прямой $Q_2$—бусинка, от шарика;
• две силы натяжения нити, направленные от бусинки к $Q_1$ и к $Q_2$ соответственно.

Нить проходит через бусинку без трения, значит бусинка не может «удерживать» разное натяжение по разные стороны от себя: модуль натяжения одинаков вдоль всей нити, $T_1 = T_2 = T$. Это и есть главное физическое наблюдение: прямая $Q_1$—бусинка одновременно является линией действия $\vec F_1$ и линией действия одной из сил натяжения, а прямая $Q_2$—бусинка — линией действия $\vec F_2$ и второй силы натяжения.

Условие равновесия: кулоновские силы равны

Запишем второй закон Ньютона для покоящейся бусинки:

Участки нити у бусинки перпендикулярны. Введём ось $x$ вдоль участка «бусинка — $Q_1$» и ось $y$ вдоль участка «бусинка — $Q_2$». В проекции на $x$ сила $\vec F_2$ и сила $\vec T_2$ не участвуют (они перпендикулярны оси), остаются только $\vec T_1$ (к шарику) и $\vec F_1$ (от шарика):

Аналогично в проекции на $y$:

Отсюда $F_1 = F_2 = T$, то есть

Заряд бусинки $q$ и коэффициент $k$ сократились — именно поэтому в условии величина $q$ не дана: положение равновесия одинаково для любого положительного заряда бусинки. Без трения из этого не следует, что движущаяся бусинка сама остановится в равновесии.

Два замечания, чтобы не споткнуться.

Во-первых, равенство $F_1 = F_2$ не зависит от угла при бусинке. Пусть угол между участками нити равен $\theta$, причём $0 < \theta < 180^\circ$ — треугольник невырожденный. Проекции на направления двух участков дают

Вычтем второе уравнение из первого:

При $0 < \theta < 180^\circ$ угол $\theta$ не нулевой, поэтому $\cos\theta \ne 1$, и снова $F_1 = F_2$. Прямой угол лишь делает уравнения совсем простыми, а главная его роль впереди — он задаёт форму треугольника.

Во-вторых, из $a = b\sqrt 5$ бусинка в равновесии стоит ближе к меньшему заряду $Q_2$ (слабый заряд приходится «компенсировать» малым расстоянием). На официальном рисунке бусинка нарисована ближе к $Q_1$ — рисунок схематический и не в масштабе; на ответ это не влияет, потому что, как мы сейчас увидим, $L$ зависит от $a$ и $b$ симметрично.

Расстояния до шариков через длину нити

Нить нерастяжима и целиком лежит на двух участках, поэтому $a + b = S$. Подставим $a = b\sqrt 5$:

Численно: $b = \dfrac{2}{1 + 2{,}236} \approx 0{,}618$ м, $a \approx 1{,}382$ м.

Теорема Пифагора и ответ

Вот где нужен угол $90^\circ$: $Q_1$, бусинка и $Q_2$ образуют прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $L$.

Чтобы получить общую формулу без громоздких дробей, обозначим отношение зарядов $n = \dfrac{Q_1}{Q_2}$ (у нас $n = 5$). Повторив шаг 3 с $a = b\sqrt n$, получаем

По теореме Пифагора

Сумма $a^2 + b^2$ не меняется от перестановки $a$ и $b$ — поэтому неважно, какой катет на рисунке короче. Общая формула:

Подстановка $S = 2$ м, $n = 5$:

С округлением до десятых: $L \approx 1{,}5$ м.