Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №7 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Система из одинаковых лёгких пружин и одинаковых грузов находится в покое в однородном поле тяжести (см. рис.). Известны расстояния $h = 12$ см, $H = 31$ см. В недеформированном состоянии длины пружин одинаковы и не являются пренебрежимо малыми, размеры грузов считайте пренебрежимо малыми. Найдите расстояние $S$ В ответе укажите целое число [см].

Дано: $h = 12$ см (расстояние от груза 2 до груза 3), $H = 31$ см (расстояние от груза 1 до груза 3). Три одинаковые лёгкие пружины (жёсткость $k$ недеформированная длина $l_0 \ne 0$ ), три одинаковых груза массы $m$ Найти $S$ — расстояние от потолка до груза 2, в см, целое число.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Как S зависит от измеренных h и H

Меняйте h и H. Как при этом подстраиваются «порция растяжения» x = mg/k и недеформированная длина l₀, и когда конфигурация перестаёт быть физичной?

h — расстояние от груза 2 до груза 3, смH — расстояние от груза 1 до груза 3, см

Модель загружается…

Модель использует уже выведенные формулы x = H − 2h, l₀ = 3h − H, S = 3H − 4h и линейный закон Гука. Если цепочка красная, то при таких h и H одинаковые пружины так висеть не могут: нужно 2h < H < 3h.

Попробуйте сами: прежде чем писать уравнения, ответьте на один вопрос — одинаково ли растянуты три одинаковые пружины? Какая из них растянута сильнее и во сколько раз? После этого выразите длину каждой пружины через $l_0$ и одну «порцию» растяжения.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Пружины лёгкие, система покоится, значит сила натяжения каждой пружины равна весу всего, что висит ниже неё. Мысленно «отрежьте» цепочку чуть выше каждого груза и посчитайте, сколько грузов остаётся снизу. Растяжение пружины по закону Гука пропорционально этой силе.

Подсказка 2

Обозначьте $x = \dfrac{mg}{k}$ — растяжение пружины под одним грузом. Тогда пружина, под которой висит $n$ грузов, имеет длину $L = l_0 + n x$ — недеформированную длину $l_0$ выбрасывать нельзя, она по условию не мала. Теперь прочитайте по рисунку, из каких длин пружин складываются расстояния $h$ $H$ и $S$ неизвестных всего две ( $l_0$ и $x$ ), а измеренных расстояний тоже два.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Сила в каждой пружине — вес всего, что ниже

Система покоится, а пружины по условию лёгкие: их собственный вес не входит в баланс сил, поэтому натяжение одной пружины одинаково по всей её длине и равно силе, с которой её тянет нижняя часть цепочки. Рассмотрим как единое тело всё, что висит ниже выбранной пружины: оно покоится, значит натяжение пружины уравновешивает его вес (внутренние силы между грузами и пружинами этого «куска» на баланс не влияют).

Нумеруем пружины сверху вниз. Под пружиной 3 висит один груз, под пружиной 2 — два, под пружиной 1 — три:

T_3 = mg,\qquad T_2 = 2mg,\qquad T_1 = 3mg.

Это ключевое наблюдение: пружины одинаковые, но нагружены по-разному, и верхняя растянута втрое сильнее нижней.

Натяжение каждой пружины равно весу всего, что висит ниже неё: T₁ = 3mg, T₂ = 2mg, T₃ = mg (пунктиром выделены «отрезанные» подсистемы).

Шаг 2. Закон Гука: длины пружин через $l_0$ и одну «порцию» растяжения

По закону Гука удлинение пружины $\Delta l = \dfrac{T}{k}$ Удобно ввести одну величину — растяжение под одним грузом:

x = \dfrac{mg}{k}.

Тогда удлинения равны $x$ $2x$ $3x$ а полные длины (недеформированная длина $l_0$ по условию не мала, её нельзя выбросить):

L_3 = l_0 + x,\qquad L_2 = l_0 + 2x,\qquad L_1 = l_0 + 3x.

Каждая пружина длиннее той, что висит под ней, ровно на $x$ — длины образуют арифметическую прогрессию. Заметим: растяжение распределено по всей длине витков равномерно, «отдельного растянутого куска» у пружины нет — разбиение $l_0 + nx$ только учётное.

Учётные длины пружин: общая недеформированная часть l₀ плюс 1, 2 или 3 «порции» растяжения x = mg/k. Пропорции условные: на самом деле растяжение распределено по всей пружине равномерно.

Шаг 3. Читаем рисунок: что такое $h$ $H$ и $S$

Размеры грузов пренебрежимо малы, поэтому расстояния между грузами — это просто длины пружин между ними. По рисунку $h$ отмерено от груза 2 до груза 3, $H$ — от груза 1 до груза 3, $S$ — от потолка до груза 2:

h = L_3 = l_0 + x,

H = L_2 + L_3 = 2l_0 + 3x,

S = L_1 + L_2 = 2l_0 + 5x.

Неизвестных две ( $l_0$ и $x$ ), известных расстояний два — система разрешима, а $S$ выразится через $h$ и $H$ без знания $m$ $k$ и $l_0$ по отдельности.

Шаг 4. Решаем систему и находим общую формулу

Из первого уравнения выразим $l_0$

l_0 = h - x.

Подставим во второе:

H = 2(h - x) + 3x = 2h + x.

Отсюда находим обе неизвестные:

x = H - 2h,

l_0 = h - x = 3h - H.

Теперь подставим их в выражение для $S$

S = 2l_0 + 5x = 2(3h - H) + 5(H - 2h).

Раскрываем скобки:

S = 6h - 2H + 5H - 10h.

Итак, общая формула:

S = 3H - 4h.

Шаг 5. Подстановка и ответ

Подставляем $H = 31$ см и $h = 12$ см:

S = 3\cdot 31\ \text{см} - 4\cdot 12\ \text{см},

S = 93\ \text{см} - 48\ \text{см} = 45\ \text{см}.

Попутно найдём остальные величины:

$x = H - 2h = 31 - 24 = 7$ см;
$l_0 = 3h - H = 36 - 31 = 5$ см;
длины пружин: $L_1 = 26\ \text{см}$ $L_2 = 19\ \text{см}$ $L_3 = 12\ \text{см}$

Ответ целый, округление не требуется: $S = 45$ см.

Цепочка в масштабе ответа (вариант 1): L₁ = 26 см, L₂ = 19 см, L₃ = 12 см — соседние пружины отличаются на x = 7 см, и все три размерные стрелки сходятся: S = 45 см, H = 31 см, h = 12 см. Пружины одинаковые, поэтому витков у всех поровну; у короткой нижней пружины они гуще, но она тоже растянута — на x.

Проверка

Размерность: $S = 3H - 4h$ — сантиметры, как и должно быть.

Проверка по частям — все три расстояния сходятся:

$L_1 + L_2 = 26 + 19 = 45$ см — это $S$
$L_2 + L_3 = 19 + 12 = 31$ см — это $H$
$L_3 = 12$ см — это $h$

Длины $26$ $19$ $12$ см образуют прогрессию с шагом $x = 7$ см, как и требует закон Гука.

Предельный случай: если грузы очень лёгкие ( $x \to 0$ ), то $H \to 2h$ и формула даёт

S = 3\cdot 2h - 4h = 2h = 2l_0

— две нерастянутые пружины, верно.

Физичность данных: $x = 7$ см и $l_0 = 5$ см — обе величины положительны, конфигурация реальна.

Ответ

$S = 3H - 4h = 45$ см

Главная идея

Одинаковые пружины в вертикальной цепочке нагружены по-разному: натяжение каждой равно весу всего, что висит ниже. Поэтому длины пружин образуют арифметическую прогрессию $l_0 + x,\ l_0 + 2x,\ l_0 + 3x$ , и двух измеренных расстояний хватает, чтобы найти неизвестные $l_0$ и $x$ а значит и любое другое расстояние.

Цепочка одинаковых пружин/нитей/стержней с грузами, известны несколько расстояний, нужно найти ещё одно, а жёсткость, масса и $l_0$ не даны. Сигнал: мысленно резать систему ниже каждой пружины, выражать натяжения через «число грузов ниже», затем длины через $l_0$ и одну единицу растяжения $x = mg/k$ — и решать линейную систему на $l_0$ и $x$

Где легко ошибиться

Считать, что раз пружины одинаковые, то и растянуты они одинаково, и тогда $L_1 = L_2 = L_3 = h$ $S = 2h = 24$ см. Это противоречит данным: получилось бы $H = 2h = 24$ см, а не $31$ см. Противоречит это и физике: верхняя пружина держит три груза, а нижняя — один, поэтому удлинение верхней втрое больше. Натяжение определяется не самой пружиной, а тем, что на ней висит.

Источник и авторство

Физтех · физика · 10 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 7.1 (ID 6013).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Равновесие
Закон Гука
Линейные уравнения

Приёмы решения: Уравнение сил · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →