Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №2 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

В вертикальном цилиндре под поршнем находится одноатомный идеальный газ. Поршень может свободно скользить в цилиндре. Масса поршня $m = 2$ кг, расстояние от дна цилиндра до поршня $h = 1{,}6$ м. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Внешнее давление равно нулю. Толщина поршня пренебрежимо мала по сравнению с $h$ Найдите сумму кинетических энергий атомов газа в цилиндре. В ответе укажите целое число [Дж].

Дано: $m = 2$ кг; $h = 1{,}6$ м; $g = 10$ м/с $^2$ внешнее давление $p_0 = 0$ газ одноатомный идеальный. Найти: $E_{\text{к}}$ — сумму кинетических энергий атомов, целое число джоулей.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Газ под поршнем: что меняется, а что нет

Меняйте массу поршня, высоту, площадь и g. Давление и объём зависят от площади S, а кинетическая энергия атомов — нет. Почему?

Масса поршня m, кгВысота столба газа h, мПлощадь поршня S, м²Ускорение свободного падения g, м/с²

Модель загружается…

Модель подставляет уже выведенную формулу E = (3/2)mgh и иллюстрирует независимость от S; она не доказывает соотношение E = (3/2)NkT, а скорости атомов показаны условно.

Попробуйте сами. Площадь поршня, количество газа и его температура не даны — и это не ошибка условия. Подумайте, какая комбинация величин, выражающая энергию газа, вычисляется только через $m$ $g$ и $h$ Начните с вопроса: чем уравновешен поршень?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Два закона: условие равновесия поршня (давление газа держит его вес, снаружи ничего не давит) и уравнение состояния идеального газа в форме $pV = NkT$ Энергия одноатомного газа — это только энергия поступательного движения атомов, в среднем $\dfrac{3}{2}kT$ на атом.

Подсказка 2

Запишите условие равновесия поршня, обозначив неизвестную площадь буквой $S$ и выразите через $S$ и $h$ объём газа. Затем подумайте, какую комбинацию давления и объёма надо составить, чтобы $S$ исчезла, и как эта комбинация связана с энергией атомов из подсказки 1.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Равновесие поршня даёт давление газа

Рассматриваем равновесие поршня: предполагаем, что он покоится. Это существенное дополнение модели: возможность свободно скользить сама по себе не означает покоя. В равновесии силы на поршень уравновешены. Сверху внешнее давление равно нулю — на поршень давит только его вес $m\vec g$ снизу — газ с силой $pS$ (где $S$ — площадь поршня, она нам неизвестна, но мы её пока просто обозначим):

pS = mg \quad\Rightarrow\quad p = \frac{mg}{S}.

Почему именно отсюда начинаем: давление газа — единственная величина в задаче, которую мы можем найти из механики, не зная ничего о самом газе.

Силы на поршень: вниз — сила тяжести mg, вверх — сила давления газа pS. Внешнего давления нет, поэтому pS = mg.

Шаг 2. Произведение $pV$ не зависит от площади

Объём газа под тонким поршнем — цилиндр высотой $h$ $V = Sh$ Перемножим давление и объём:

pV = \frac{mg}{S}\cdot Sh = mgh.

Площадь $S$ сократилась — именно поэтому её нет в условии. Численно $pV = 2\cdot 10\cdot 1{,}6 = 32$ Дж. Заметьте: $pV$ имеет размерность энергии:

\text{Па}\cdot\text{м}^3 = \dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}\cdot\text{м}^3 = \text{Н}\cdot\text{м} = \text{Дж}.

Это намёк, что искомая энергия выразится через $pV$

Шаг 3. Связываем кинетическую энергию атомов с $pV$

Атомы одноатомного газа — точечные частицы, у них нет вращения и колебаний, поэтому вся их кинетическая энергия — поступательная. По основному результату МКТ средняя кинетическая энергия одного атома равна $\dfrac{3}{2}kT$ где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — температура газа. Если атомов $N$ то их суммарная кинетическая энергия

E_{\text{к}} = N\cdot\frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}\,NkT.

Но для идеального газа $pV = NkT$ (это уравнение Клапейрона–Менделеева $pV = \nu RT$ с $\nu R = Nk$ ). Подставляем:

E_{\text{к}} = \frac{3}{2}\,pV.

Ни $N$ ни $T$ по отдельности знать не нужно — важно только их произведение, а оно равно $pV$

На диаграмме p–V состояние газа — точка; площадь прямоугольника под ней равна pV = mgh. Кинетическая энергия атомов в 3/2 раза больше этой площади.

Шаг 4. Общая формула, подстановка и ответ

Соединяем шаги 2 и 3:

E_{\text{к}} = \frac{3}{2}\,pV = \frac{3}{2}\,mgh.

Подставляем числа:

E_{\text{к}} = \frac{3}{2}\cdot 2\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}^2\cdot 1{,}6\ \text{м} = 48\ \text{Дж}.

Число уже целое, округлять не нужно. Ответ: $48$ Дж.

Проверка

Размерность — энергия, как и требуется:

[mgh] = \text{кг}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\text{м} = \text{Н}\cdot\text{м} = \text{Дж}.

Предельный случай: при $m \to 0$ давление газа стремится к нулю, а значит, при конечном объёме $NkT = pV \to 0$ и кинетическая энергия атомов тоже стремится к нулю — формула это даёт. Второй способ: $E_{\text{к}} = \dfrac{3}{2}\nu RT$ — внутренняя энергия одноатомного газа; поскольку $\nu RT = pV = mgh$ получаем тот же результат. Численная проверка: для произвольных $S$ и $\nu$ температура и давление меняются, а $\dfrac{3}{2}pV$ неизменно равно $48{,}0$ Дж.

Ответ

48 Дж

Главная идея

Для одноатомного идеального газа суммарная кинетическая энергия атомов равна $\dfrac{3}{2}pV$ а произведение $pV$ под свободным поршнем без внешнего давления равно $mgh$ площадь поршня, число атомов и температура сокращаются, остаются только механические данные.

Если в задаче про газ под поршнем «не хватает» площади, количества вещества или температуры, а спрашивают энергию, — ищите произведение $pV$ давление берётся из равновесия поршня ( $p = mg/S$ плюс внешнее давление, если оно есть), объём — из геометрии ( $V = Sh$ ), а внутренняя энергия идеального газа (при неизменном числе степеней свободы молекул) пропорциональна $pV$ для одноатомного она равна $\dfrac{3}{2}pV$

Где легко ошибиться

Перепутать энергию газа с механической энергией поршня: получив $pV = mgh = 32$ Дж, многие останавливаются на этом числе, думая, что «энергия газа равна работе по удержанию поршня» или потенциальной энергии поршня. Но $mgh$ здесь — лишь произведение $pV = NkT$ а кинетическая энергия атомов в $\dfrac{3}{2}$ раза больше: на каждую из трёх степеней свободы поступательного движения приходится $\dfrac{1}{2}kT$ Для двухатомного газа множитель был бы $\dfrac{5}{2}$ — но тогда вопрос «сумма кинетических энергий» включал бы и вращение.

Источник и авторство

Физтех · физика · 10 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 2.1 (ID 5993).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Равновесие поршня
Давление
Внутренняя энергия одноатомного газа

Приёмы решения: Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →