Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №4 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

На концах лёгкой нерастяжимой нити, перекинутой через гладкий лёгкий блок, прикреплены два груза, которые движутся по вертикали (см. рис.). В некоторый момент груз массой $m = 0{,}5$ кг движется вниз со скоростью $V = 3$ м/с, а через $\tau = 2$ с этот груз движется вверх с той же по модулю скоростью. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Найдите силу, с которой ось действует на блок. Ответ приведите в [Н] с округлением до целых.

Дано: $m = 0{,}5$ кг; $V = 3$ м/с (сначала вниз, через $\tau$ — вверх); $\tau = 2$ с; $g = 10$ м/с $^2$ Нить лёгкая и нерастяжимая, блок гладкий и лёгкий, оба груза движутся по вертикали. Масса второго груза не дана. Найти силу $N$ с которой ось действует на блок, в Н, округлить до целых.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Как сила на ось зависит от m, V и τ

Меняйте массу груза, скорость и время разворота: как меняются ускорение, натяжение нити и сила на ось? При каком τ сила стремится к весу двух одинаковых грузов 2mg?

Масса груза m, кгСкорость V, м/сВремя разворота τ, сХод демонстрации

Статичный режим

Модель загружается…

Модель использует уже выведенные формулы $a = 2V/\tau$ $T = m(g + a)$ $N = 2T$ При $2V/\tau \to g$ масса $M$ уходит в бесконечность, поэтому диапазоны ползунков выбраны так, чтобы $a \le 8$ м/с $^2 < g$

Попробуйте сами. Масса второго груза неизвестна — и это не помеха. Подумайте: что именно вы знаете о движении груза $m$ если его скорость за $\tau$ секунд сменилась с « $V$ вниз» на « $V$ вверх»? Какая сила «держит» блок, и из чего она складывается, если сам блок ничего не весит?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Силы на грузы постоянны (сила тяжести и натяжение нити не меняются), поэтому груз $m$ движется равноускоренно. Скорость — векторная величина: «вниз $V$ » и «вверх $V$ » — это два разных значения проекции скорости на вертикаль. Из их изменения за время $\tau$ находится ускорение груза $m$ а дальше работает второй закон Ньютона — для того груза, про который всё известно.

Подсказка 2

Направьте ось $y$ вверх. Тогда $v_y(0) = -V$ $v_y(\tau) = +V$ и

a = \dfrac{v_y(\tau) - v_y(0)}{\tau} = \dfrac{2V}{\tau} > 0,

то есть ускорение груза $m$ направлено вверх. Теперь запишите для груза $m$ второй закон Ньютона в проекции на эту ось и подумайте, какие силы приложены к самому блоку.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Ускорение груза $m$ из кинематики

На груз действуют только сила тяжести $m\vec g$ и натяжение нити $\vec T$ Почему натяжение не меняется со временем? Запишем второй закон Ньютона для каждого груза: $T - mg = ma$ для груза $m$ (ось вверх) и $Mg - T = Ma$ для второго груза массой $M$ (ось вниз); модули ускорений одинаковы, потому что нить нерастяжима. Сложив уравнения, получим

a = \dfrac{(M-m)g}{M+m}.

Массы постоянны, поэтому $a$ — постоянное число, а значит, и $T = m(g+a)$ постоянно. Груз $m$ движется равноускоренно на всём промежутке $\tau$ Саму массу $M$ мы не знаем, и она не понадобится: ускорение найдём из кинематики.

Направим ось $y$ вертикально вверх. В начальный момент $v_y(0) = -V$ (вниз), через время $\tau$ $v_y(\tau) = +V$ (вверх). Для равноускоренного движения $v_y(\tau) = v_y(0) + a_y\tau$ , откуда

a_y = \dfrac{V - (-V)}{\tau} = \dfrac{2V}{\tau},

a_y = \dfrac{2\cdot 3}{2} = 3\ \text{м/с}^2.

Знак плюс означает, что ускорение направлено вверх: груз $m$ сначала тормозит, останавливается в момент $\tau/2$ и затем разгоняется вверх. Важно: модуль скорости не изменился, но вектор скорости изменился на $2V$ — именно это и даёт ускорение.

Два состояния груза

m

при

t = 0

он движется вниз, при

t = \tau

— вверх с той же по модулю скоростью

V

положение в оба момента одно и то же. Скорость изменилась на

2V

за время

\tau

поэтому ускорение

a = 2V/\tau

направлено вверх.

Шаг 2. Второй закон Ньютона для груза $m$ натяжение нити

Масса второго груза неизвестна, но она и не нужна: натяжение нити можно найти по тому грузу, про который известно всё. На груз $m$ действуют $\vec T$ (вверх) и $m\vec g$ (вниз), ускорение $\vec a$ направлено вверх. В проекции на ось $y$

T - mg = ma \quad\Rightarrow\quad T = m(g + a) = m\left(g + \dfrac{2V}{\tau}\right).

Численно: $T = 0{,}5\cdot(10 + 3) = 6{,}5$ Н. Натяжение больше силы тяжести $mg = 5$ Н — так и должно быть, раз груз ускоряется вверх.

Шаг 3. Силы на лёгкий блок: откуда берётся $2T$

Нить лёгкая, блок лёгкий и гладкий (нет трения ни в оси, ни между нитью и блоком), поэтому натяжение одинаково по обе стороны блока: обе ветви тянут блок вниз с силой $T$ каждая. Нить сходит с блока вертикально, так что обе эти силы вертикальны.

Блок лёгкий — его масса равна нулю. Тогда второй закон Ньютона для блока $0\cdot\vec a_{\text{бл}} = \vec N + 2\vec T$ даёт: сумма сил на блок равна нулю при любом его движении (здесь блок вообще покоится, но это даже не важно). Сила оси $\vec N$ направлена вверх и по модулю

N = 2T.

Слева — силы на груз

m

T

вверх,

mg

вниз (от центра груза), ускорение

a

вверх, поэтому

T - mg = ma

Справа — силы на лёгкий блок: две ветви нити тянут вниз по

T

каждая, ось действует вверх силой

N

масса блока равна нулю, поэтому

N = 2T

Шаг 4. Общая формула и число

Подставляем $T$ из шага 2:

N = 2T = 2m\left(g + \dfrac{2V}{\tau}\right).

Числа: ускорение $a = 3$ м/с $^2$ уже найдено в шаге 1, поэтому

N = 2\cdot 0{,}5\cdot(10 + 3) = 13\ \text{Н}.

По условию ответ нужно округлить до целых: $N = 13$ Н (здесь значение получилось целым точно). По третьему закону Ньютона блок действует на ось с такой же по модулю силой, направленной вниз.

Шаг 5. Самопроверка: а какой второй груз?

Найдём массу второго груза $M$ Он ускоряется вниз с тем же по модулю $a$ (нить нерастяжима): $Mg - T = Ma$ откуда

M = \dfrac{T}{g - a} = \dfrac{m(g+a)}{g-a},

M = 0{,}5\cdot\dfrac{13}{7} = \dfrac{13}{14} \approx 0{,}93\ \text{кг}.

Второй груз тяжелее $m$ — согласуется с тем, что $m$ ускоряется вверх. Заметьте также: смещение груза $m$ за время $\tau$ равно

\Delta y = -V\tau + \dfrac{a\tau^2}{2} = -V\tau + V\tau = 0,

то есть груз возвращается ровно в исходную точку — поэтому на рисунках оба состояния выглядят одинаково, различаясь только направлением скорости.

Проверка

Размерность. $[mg]$ кг $\cdot$ м/с $^2$ = Н; $[mV/\tau]$ кг $\cdot$ (м/с)/с = Н — слагаемые согласованы.

Предельный случай. При $\tau\to\infty$ ускорение стремится к нулю, грузы должны быть одинаковыми, и $N\to 2mg = 10$ Н — вес двух одинаковых грузов, как и должно быть для уравновешенной машины Атвуда.

Согласованность с формулами машины Атвуда (не независимая проверка: $M$ взято из шага 5). Из шага 5 $M = 13/14$ кг, а $m = 0{,}5$ кг $= 7/14$ кг, поэтому

M + m = \dfrac{20}{14}\ \text{кг},\qquad M - m = \dfrac{6}{14}\ \text{кг}.

Тогда

T = \dfrac{2Mmg}{M+m} = \dfrac{2\cdot 13\cdot 7}{14\cdot 20}\cdot 10,

T = 6{,}5\ \text{Н};

a = \dfrac{(M-m)g}{M+m} = \dfrac{6}{20}\cdot 10 = 3\ \text{м/с}^2.

Всё сходится: $N = 2T = 13$ Н.

Согласованность через всю систему (тоже использует $M$ и $a$ из решения; независимые проверки — размерность и предел выше). На систему «два груза, нить, блок» снаружи действуют только сила тяжести $(M+m)g$ вниз и сила оси $N$ вверх. Груз $M$ ускоряется вниз, груз $m$ — вверх, оба с ускорением $a$ Второй закон Ньютона для системы (ось вниз):

(M+m)g - N = Ma - ma,

N = (M+m)g - (M-m)a.

Подставляем:

N = \dfrac{20}{14}\cdot 10 - \dfrac{6}{14}\cdot 3,

N = \dfrac{200 - 18}{14} = 13\ \text{Н}.

Ответ

$N = 2m\left(g + \dfrac{2V}{\tau}\right) = 13$ Н

Главная идея

Смена направления скорости при том же модуле — это изменение скорости на $2V$ то есть ускорение $a = 2V/\tau$ Зная ускорение известного груза, получаем натяжение $T = m(g+a)$ а невесомый гладкий блок просто передаёт на ось сумму двух натяжений: $N = 2T$ Неизвестная масса второго груза не нужна.

Если в задаче про блок/машину Атвуда дана не масса одного из грузов, а кинематика другого («скорость была такой, стала такой за время $\tau$ »), значит, ускорение надо брать из кинематики, а второй закон Ньютона записывать только для известного груза. Фраза «ось действует на блок» при лёгком блоке всегда означает $N = 2T$ (для вертикальных ветвей нити).

Где легко ошибиться

Считать, что ось держит «вес всей системы»: $N = (m + M)g$ Это верно только для покоящихся грузов. Когда грузы ускоряются, центр масс системы движется с ускорением вниз (тяжёлый груз опускается, лёгкий поднимается, а $|{\vec a}|$ у обоих одинаково), поэтому сила оси меньше суммарного веса: $N = 2T = \dfrac{4Mmg}{M+m} < (M+m)g$ . Здесь $(M+m)g \approx 14{,}3$ Н, а $N = 13$ Н. Родственная ошибка — решить, что раз модуль скорости не изменился, то и ускорения нет, и ответить $2mg = 10$ Н.

Источник и авторство

Физтех · физика · 10 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 4.1 (ID 6001).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Второй закон Ньютона
Постоянное ускорение
Идеальный блок

Приёмы решения: Уравнение сил · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →