Задача 8. Мешочек на наклонной плоскости: когда он замрёт

Выбираем «наклонные» оси

О расхождении с источником. Наш ответ отличается от ответа, получаемого по формуле в опубликованных указаниях организатора. Для сохранённых данных ID 6017 ($V=12$ м/с, $\alpha=50^\circ$, $\beta=25^\circ$) формула $V\cos\beta/(g\sin\alpha)$ даёт $1{,}42$ с — момент нулевой скорости только вдоль плоскости. Удар происходит позже, при $1{,}58$ с. В первый момент мешочек ещё на расстоянии $0{,}722$ м от плоскости и движется к ней со скоростью $4{,}054$ м/с; при ударе его касательная скорость уже направлена вниз по склону. Поэтому строгий ответ: при данных варианта остановки на плоскости нет. Ниже проверим это, сохраняя исходное условие и числа.

Мешочек бросают с самой плоскости $AB$ под углом $\beta$ к ней, а вопрос задан про движение по плоскости. Поэтому удобно взять ось $x$ вдоль плоскости (вверх, от $A$ к $B$) и ось $y$ перпендикулярно плоскости (от неё вверх). В этих осях начальная скорость раскладывается без лишних углов:

а ускорение свободного падения $\vec g$ составляет угол $\alpha$ с осью $-y$ (плоскость наклонена к горизонту на $\alpha$, значит нормаль к ней отклонена от вертикали на тот же угол $\alpha$):

Оба движения — вдоль $x$ и вдоль $y$ — равноускоренные и независимые.

Время полёта — из нормальной оси

Пока мешочек летит, его удаление от плоскости $y(t) = V\sin\beta\cdot t - \dfrac{g\cos\alpha}{2}t^2$. Приземление — это $y = 0$ при $t > 0$:

Это ещё не ответ: в момент приземления мешочек не останавливается, а продолжает скользить по плоскости.

Что делает удар со скоростью

Для движения после удара принимаем стандартную модель мешочка с песком: он не отскакивает, и нормальная составляющая скорости $v_y$ обращается в нуль. Это модель удара, отдельно от исходных чисел. Но плоскость гладкая, поэтому во время удара на мешочек действует только сила нормальной реакции, направленная по $y$. Вдоль плоскости сила отсутствует, и составляющая $v_x$ при ударе не меняется. После приземления мешочек скользит по гладкой наклонной плоскости, и вдоль неё на него по-прежнему действует только $mg\sin\alpha$ вниз по склону: $a_x = -g\sin\alpha$ — ровно то же, что и в полёте. Значит, на всём движении (полёт + скольжение) скорость вдоль плоскости меняется по одному закону:

Удар на эту формулу никак не влияет.

Когда равна нулю касательная составляющая

Из единого закона $v_x(t) = V\cos\beta - g\sin\alpha\cdot t$ находим момент $v_x=0$:

Подставляем:

Это пока не время полной остановки: в полёте может оставаться нормальная составляющая $v_y$. Полная остановка на плоскости возможна в найденный момент лишь при $t_{\parallel=0}\ge t_{\text{пол}}$, когда мешочек уже достиг плоскости.

Проверка: успел ли мешочек приземлиться?

Момент из шага 4 является остановкой на плоскости, только если мешочек уже приземлился: $t_{\parallel=0} \ge t_{\text{пол}}$, то есть

Умножим обе части на положительное число $g\sin\alpha\cos\alpha/V$:

и разделим на $\sin\beta\cos\alpha > 0$:

При $\beta = \alpha/2$ с ростом $\alpha$ левая часть убывает, а правая растёт, поэтому условие выполняется только до некоторого порога. Подберём его на калькуляторе. При $\alpha = 48^\circ$ условие ещё выполняется:

а при $\alpha = 50^\circ$ уже нет:

Точный порог также находится без подбора: при $\beta=\alpha/2$ имеем $\sin\alpha=2\sin\beta\cos\beta$, поэтому неравенство сводится к $\cos\alpha\ge4\sin^2\beta=2(1-\cos\alpha)$, то есть $3\cos\alpha\ge2$. Значит, $\alpha\le\arccos(2/3)\approx48{,}19^\circ$, и для варианта 1 ($\alpha = 50^\circ$) условие нарушено: $t \approx 1{,}42$ с $< t_{\text{пол}} \approx 1{,}58$ с. В момент $t_{\parallel=0}=1{,}41972$ с мешочек ещё в воздухе:

Его скорость направлена к плоскости и не равна нулю. К приземлению скорость вдоль плоскости уже отрицательна:

то есть мешочек уже скользит вниз и дальше только разгоняется. В остальных трёх вариантах ($\alpha = 30^\circ, 20^\circ, 40^\circ$) условие выполняется с большим запасом.

Строгий ответ и проверка полной скорости

В полёте горизонтальная скорость в лабораторной системе постоянна:

Поэтому полной остановки в воздухе нет ни в один момент. При ударе $v_x\approx-1{,}212$ м/с; гладкая плоскость не меняет эту составляющую. После удара $a_x=-g\sin\alpha<0$, так что мешочек продолжает двигаться вниз всё быстрее. При данных варианта остановки на плоскости нет. Округлённые $1{,}4$ с из официальной формулы отвечают другому вопросу — когда равна нулю только касательная составляющая скорости.