Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Числа $a$ $b$ $c$ с нулевой суммой таковы, что $\dfrac1{a^2} + \dfrac1{b^2} + \dfrac1{c^2} = 49$ . Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c$ ?

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Как связаны $\left(\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c\right)^2$ и $\dfrac1{a^2} + \dfrac1{b^2} + \dfrac1{c^2}$ ? Где тут пригодится $a + b + c = 0$ В модели подбирай тройки с нулевой суммой и сравнивай две нижние строки таблицы. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТройка в равновесии

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Тройка в равновесии

Как связаны сумма обратных величин и сумма обратных квадратов, если a + b + c = 0?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми a = 1, b = 2, c = −3 и посчитай 1/a + 1/b + 1/c и 1/a² + 1/b² + 1/c². Возведи первую сумму в квадрат. Повтори для a = 2, b = 3, c = −5.

Подсказка 1

Возведи сумму в квадрат:

\left(\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c\right)^2 = \dfrac1{a^2} + \dfrac1{b^2} + \dfrac1{c^2} + 2\left(\dfrac1{ab} + \dfrac1{bc} + \dfrac1{ca}\right)

Подсказка 2

$\dfrac1{ab} + \dfrac1{bc} + \dfrac1{ca} = \dfrac{c + a + b}{abc} = 0$ . Значит, квадрат суммы равен $49$ Какие значения тогда возможны и достигается ли меньшее из них?

Разобрать решение по шагам

Квадрат суммы обратных величин

Числа $a$ $b$ $c$ ненулевые (иначе $\dfrac1a$ не определено). Раскроем квадрат:

\left(\frac1a + \frac1b + \frac1c\right)^2 = \frac1{a^2} + \frac1{b^2} + \frac1{c^2} + 2\left(\frac1{ab} + \frac1{bc} + \frac1{ca}\right).

Приведём скобку к общему знаменателю: $\dfrac1{ab} + \dfrac1{bc} + \dfrac1{ca} = \dfrac{c + a + b}{abc} = 0$ , потому что сумма чисел равна нулю.

Возможны только два значения

Получаем $\left(\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c\right)^2 = 49$ , поэтому

\frac1a + \frac1b + \frac1c = 7 \quad\text{или}\quad \frac1a + \frac1b + \frac1c = -7.

Значение −7 достигается

Возьмём любую тройку с нулевой суммой, например $1, 1, -2$ сумма обратных квадратов $1 + 1 + \tfrac14 = \tfrac94$ , сумма обратных величин $1 + 1 - \tfrac12 = \tfrac32$ . Умножим все числа на одно и то же $\lambda$ нулевая сумма сохранится, сумма обратных квадратов разделится на $\lambda^2$ а сумма обратных величин — на $\lambda$ При $\lambda = -\tfrac{3}{14}$ получаем тройку $a = b = -\tfrac3{14}$ $c = \tfrac37$ сумма обратных квадратов $\tfrac94 \cdot \tfrac{196}{9} = 49$ , а $\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c = -\tfrac{14}3 - \tfrac{14}3 + \tfrac73 = -7$ .

Значит, наименьшее значение — $-7$

Проверка

Для любой тройки с нулевой суммой модель показывает, что $\left(\sum \tfrac1a\right)^2$ совпадает с $\sum \tfrac1{a^2}$ тест проверяет это для нескольких троек и для растянутых троек с суммой обратных квадратов $49$ $64$ $81$ $100$ Подстановка: $a = b = -\tfrac3{14}$ $c = \tfrac37$ — сумма равна нулю, $\tfrac{196}9 + \tfrac{196}9 + \tfrac{49}9 = 49$ , сумма обратных $-7$ В других версиях сумма обратных квадратов $64$ $81$ $100$ — ответы $-8$ $-9$ $-10$

Ответ

$-7$

Ответ

$-7$

Главная идея

Из a + b + c = 0 следует 1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) = 0, поэтому (1/a + 1/b + 1/c)² = 1/a² + 1/b² + 1/c² = 49, и сумма равна ±7; −7 достигается.

Сумма обратных и сумма обратных квадратов при известной сумме чисел — возвести в квадрат и выразить попарные произведения через a + b + c.

Где легко ошибиться

Ответить 7, забыв про отрицательный корень; не проверить, что −7 действительно достигается; потерять множитель 2 в квадрате суммы.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 9, версия с ID 3569 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3572, 3573, 3571) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 1 попытка 2024», стр. 9 ↗: ID 3569: −7; ID 3572: −8; ID 3573: −9; ID 3571: −10.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Преобразования выражений →

Тема, знания и приёмы

Преобразования выражений · Нужна школьная база

Квадрат суммы трёх слагаемых
Приведение дробей к общему знаменателю

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →