Математика · 9 класс · первый тур

На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число $A = 1\,188$, чтобы получилось некоторое натуральное число в натуральной степени, отличной от $1$?

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Точки $P$ и $Q$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $ABH$ и $BCH$ соответственно, а $\sqrt6$ и $\sqrt{24}$ — радиусы этих окружностей. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника $HPQ$.

Ваня и Лёня бегают по круговой дорожке стадиона $500$-метровой длины в одном направлении. Ваня бежит с постоянной скоростью $v$ км/ч, но он начал пробежку на $23$ минуты позже Лёни. А Лёня бежит с постоянной скоростью $12$ км/ч, но останавливается на $1$ минуту через каждые $300$ метров. С какой скоростью $v$ бежит Ваня, если известно, что они одновременно пересекли финишную черту, пробежав ровно по $20$ кругов каждый?

Точка $E$ лежит на стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$, и при этом $\angle CED = 90^\circ$. Точки $O$, $P$, $Q$ являются центрами окружностей, описанных около треугольников $ADE$, $BCE$, $CDE$ соответственно. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$, если $OQ = 20$, $OP = 29$.

Есть $300$ карточек с числами от $1$ до $300$ (на каждой карточке написано ровно одно число, числа на карточках попарно различны). Сколькими способами можно выбрать три карточки, чтобы сумма чисел на них была кратна $3$?

Ненулевые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $\dfrac{a}{b + c - 5a} = \dfrac{b}{a + c - 5b} = \dfrac{c}{a + b - 5c}$. Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{2b}{a} + \dfrac{2c}{a} + \dfrac{5a}{b} + \dfrac{5c}{b}$?

Центр окружности $\omega$ радиуса $R$ расположен на гипотенузе $AC$ треугольника $ABC$. Известно, что $\omega$ пересекает $AC$ в точках $P$ и $E$ ($P$ лежит между $A$ и $E$) и касается обоих катетов треугольника $ABC$. Найдите $CE$, если $AP = 4$, а радиус окружности $\omega$ равен $10{,}5$.

Сколько существует способов переставить местами буквы $abcabe$ так, чтобы никакие две одинаковые буквы не стояли рядом?

Числа $a$, $b$, $c$ с нулевой суммой таковы, что $\dfrac1{a^2} + \dfrac1{b^2} + \dfrac1{c^2} = 49$. Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c$?

Учитель математики договорился с пришедшими на кружок $23$ учениками, что они выберут, кто из них будет лжецом (всегда лгать), а кто — рыцарем (всегда говорить правду). После чего учитель раздал ученикам карточки с числами, причём числа на всех карточках различны. Ученики встали по кругу и посмотрели карточки соседей. После этого каждый из учеников сказал: «Число на моей карточке больше, чем у моих соседей». Какое наибольшее количество учеников могут сказать: «Число на моей карточке меньше, чем у моих соседей»?