Задача 8. Одинаковые буквы не рядом

Все перестановки

В слове $abcabe$ шесть букв: $a$ и $b$ — по две, $c$ и $e$ — по одной. Если бы все буквы были разными, перестановок было бы $6! = 720$. Перестановка двух одинаковых $a$ (и двух $b$) между собой ничего не меняет, поэтому различных расстановок

Вопрос «сколько способов переставить» понимаем как число всех расстановок с нужным свойством; само слово $abcabe$ тоже подходит и учитывается (так же считает и организатор).

Склеиваем одинаковые буквы

Пусть $A$ — число расстановок, где две $a$ стоят рядом. Склеим их в одну карточку $aa$: получится $5$ карточек ($aa, b, b, c, e$), из них две одинаковые, $A = \dfrac{5!}{2!} = 60$. Так же $B = 60$ расстановок с двумя $b$ рядом.

Если рядом стоят и $a$, и $b$, склеиваем обе пары: $4$ различные карточки, $C = 4! = 24$.

Включения и исключения

Плохие расстановки — те, где рядом стоят две $a$ или две $b$. Их $A + B - C$: расстановки с обеими парами рядом посчитаны и в $A$, и в $B$. Хороших