Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Точка $E$ лежит на стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ и при этом $\angle CED = 90^\circ$ Точки $O$ $P$ $Q$ являются центрами окружностей, описанных около треугольников $ADE$ $BCE$ $CDE$ соответственно. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$ если $OQ = 20$ $OP = 29$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Какие из трёх треугольников прямоугольные? Где центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? В модели двигай точку $E$ и следи за $OQ$ и $OP$ Ниже можно сверить ответ — площадь.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТочка E и три центра

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Точка E и три центра

Где окажутся центры окружностей и что останется неизменным при движении E?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй прямоугольный треугольник и отметь середину гипотенузы. Измерь расстояния от неё до трёх вершин. Что получилось?

Подсказка 1

Все три треугольника прямоугольные: $ADE$ — с прямым углом $A$ $BCE$ — с прямым углом $B$ $CDE$ — с прямым углом $E$ Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.

Подсказка 2

$O$ $P$ $Q$ — середины $DE$ $CE$ $CD$ то есть $OQ$ и $OP$ — средние линии треугольника $CDE$ Найди $CE$ и $CD$ затем $DE$ Как площадь прямоугольника связана с площадью треугольника $CDE$

Разобрать решение по шагам

O, P, Q — середины сторон треугольника CDE

Углы прямоугольника прямые, поэтому треугольник $ADE$ прямоугольный с гипотенузой $DE$ треугольник $BCE$ — с гипотенузой $CE$ а треугольник $CDE$ прямоугольный по условию, его гипотенуза $CD$

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы (прямой угол опирается на диаметр). Значит, $O$ — середина $DE$ $P$ — середина $CE$ $Q$ — середина $CD$

Средние линии дают стороны треугольника CDE

$OQ$ соединяет середины сторон $DE$ и $DC$ значит, это средняя линия, параллельная $CE$ $CE = 2 \cdot OQ = 40$ Так же $OP$ — средняя линия, параллельная $CD$ $CD = 2 \cdot OP = 58$ По теореме Пифагора в треугольнике $CDE$

DE = \sqrt{58^2 - 40^2} = \sqrt{(58 - 40)(58 + 40)} = \sqrt{18 \cdot 98} = 42.

O, P, Q — середины сторон прямоугольного треугольника CDE; OQ и OP — его средние линии.

Площадь прямоугольника

У треугольника $CDE$ и прямоугольника общее основание $CD$ а высота треугольника из $E$ равна стороне $AD$ прямоугольника, ведь $E$ лежит на $AB$ Поэтому

S_{ABCD} = CD \cdot AD = 2S_{CDE} = DE \cdot CE = 42 \cdot 40 = 1680.

Проверка

Координаты: $D = (0;\,0)$ $C = (58;\,0)$ точка $E$ с $DE = 42$ $CE = 40$ имеет координаты $(\tfrac{42^2}{58};\,\tfrac{42 \cdot 40}{58}) \approx (30{,}41;\,28{,}97)$ . Высота прямоугольника $AD \approx 28{,}97$ площадь $58 \cdot \tfrac{1680}{58} = 1680$ . Середины $O \approx (15{,}21;\,14{,}48)$ , $Q = (29;\,0)$ $P \approx (44{,}21;\,14{,}48)$ дают $OQ = 20$ и $OP = 29$ Другие версии: $OQ = 9$ $OP = 41$ — $CE = 18$ $CD = 82$ $DE = 80$ площадь $1440$ $7$ и $25$ — $14$ $50$ $48$ площадь $672$ $10$ и $26$ — $20$ $52$ $48$ площадь $960$

Ответ

$1680$

Ответ

$1680$

Главная идея

Центры описанных окружностей прямоугольных треугольников — середины гипотенуз; OQ и OP — средние линии треугольника CDE, а площадь прямоугольника вдвое больше площади CDE.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — сразу середина гипотенузы; отрезок между серединами двух сторон — средняя линия.

Где легко ошибиться

Считать O, P, Q точками пересечения серединных перпендикуляров вместо середин гипотенуз; принять OP за половину CE; забыть, что S(ABCD) = 2S(CDE), и умножить CD на DE.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 4, версия с ID 3547 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3550, 3549, 3551) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 1 попытка 2024», стр. 4 ↗: ID 3547: 1680; ID 3550: 1440; ID 3549: 672; ID 3551: 960.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Окружности и касательные →

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Нужна школьная база

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника
Средняя линия треугольника
Теорема Пифагора

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →