Задача 2. Две вписанные окружности у высоты

HP и HQ — биссектрисы прямых углов

Центр вписанной окружности треугольника равноудалён от всех его сторон, поэтому лежит на биссектрисе каждого угла. $BH$ — высота, поэтому $\angle AHB = \angle CHB = 90^\circ$. Значит, $HP$ — биссектриса угла $AHB$, $HQ$ — биссектриса угла $CHB$:

Длины HP и HQ

Опустим из $P$ перпендикуляры на $AH$ и $BH$: их длины равны радиусу $r_1 = \sqrt6$. Вместе с точкой $H$ они образуют квадрат со стороной $r_1$, и $HP$ — его диагональ: $HP = r_1\sqrt2 = \sqrt{12}$. Так же $HQ = r_2\sqrt2 = \sqrt{48}$.

Площадь не зависит от треугольника

Треугольник $HPQ$ прямоугольный с катетами $HP$ и $HQ$:

Площадь одна и та же для любого подходящего треугольника, поэтому «наименьшее возможное значение» — это просто $12$. Остаётся убедиться, что подходящий треугольник есть.

Остроугольный треугольник с такими радиусами существует

Возьмём высоту $BH = h > 2\sqrt{24}$. В прямоугольном треугольнике с катетом $h$ и радиусом вписанной окружности $r$ второй катет равен $x = \dfrac{2r(h - r)}{h - 2r}$ (это следует из $r = \dfrac{h + x - \sqrt{h^2 + x^2}}{2}$). Отложим $AH$ и $HC$ такой длины по разные стороны от $H$.

Углы $A$ и $C$ острые (это острые углы прямоугольных треугольников $ABH$ и $CBH$). Угол $B$ острый, если $AH \cdot HC < h^2$: при росте $h$ катеты $AH$ и $HC$ приближаются к $2r_1$ и $2r_2$, а $h^2$ неограниченно растёт. Например, при $h = 15$ получаем $AH \approx 6{,}09$, $HC \approx 19{,}03$, $AH \cdot HC \approx 115{,}8 < 225$, и $\angle B \approx 73{,}8^\circ$.