Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Ваня и Лёня бегают по круговой дорожке стадиона $500$ -метровой длины в одном направлении. Ваня бежит с постоянной скоростью $v$ км/ч, но он начал пробежку на $23$ минуты позже Лёни. А Лёня бежит с постоянной скоростью $12$ км/ч, но останавливается на $1$ минуту через каждые $300$ метров. С какой скоростью $v$ бежит Ваня, если известно, что они одновременно пересекли финишную черту, пробежав ровно по $20$ кругов каждый?

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Сколько всего метров пробежал каждый? Сколько минут Лёня бежал и сколько стоял? Внимательно с последней остановкой. В модели подбирай скорость Вани и запускай забег. Ниже можно сверить ответ — скорость в км/ч.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗабег на стадионе

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Забег на стадионе

С какой скоростью должен бежать Ваня, чтобы финишировать вместе с Лёней?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Выпиши отметки, на которых останавливается Лёня: 300, 600, 900, … Какая последняя отметка до 10 000 м? Сколько это остановок?

Подсказка 1

Дистанция — $20 \cdot 500 = 10\,000$ м. Со скоростью $12$ км/ч $= 200$ м/мин Лёня бежит $50$ минут. Остановки — после $300$ м, $600$ м и так далее. Сколько их до финиша?

Подсказка 2

Остановки стоят на отметках $300k < 10\,000$ м, то есть $k = 1, 2, \ldots, 33$ на финише Лёня уже не останавливается. Лёня в пути $50 + 33 = 83$ минуты, Ваня — на $23$ минуты меньше.

Разобрать решение по шагам

Дистанция и чистое время бега Лёни

Каждый пробежал $20$ кругов по $500$ м, то есть $10\,000$ м $= 10$ км. Скорость Лёни $12$ км/ч $= 12\,000$ м за $60$ минут $= 200$ м/мин, поэтому бежит он

10\,000 : 200 = 50 \text{ минут}.

Сколько раз Лёня останавливался

Лёня стоит минуту после каждых $300$ м, то есть на отметках $300, 600, 900, \ldots$ м. Нужны отметки, которые он проходит до финиша: $300k < 10\,000$ откуда $k \le 33$ ( $33 \cdot 300 = 9\,900$ а $34 \cdot 300 = 10\,200$ — уже за финишем). Значит, остановок $33$ и всего Лёня был в пути

50 + 33 = 83 \text{ минуты}.

Если бы $10\,000$ делилось на $300$ нацело, последняя отметка совпала бы с финишем — там Лёня уже не стоит, и её не считают.

Скорость Вани

Ваня стартовал на $23$ минуты позже, а финишировал одновременно с Лёней, поэтому бежал $83 - 23 = 60$ минут $= 1$ час. За час он пробежал $10$ км:

v = 10 \text{ км/ч}.

Проверка

Пошаговая модель забега (минута стояния после каждых $300$ м, без остановки на финише) приводит Лёню к финишу ровно в $83$ минуты; Ваня со скоростью $10$ км/ч стартует на $23$ -й минуте и финиширует туда же. В других версиях: $15$ км на $15$ км/ч — $60$ минут бега и $35$ остановок (через $420$ м), Ваня бежит $95 - 20 = 75$ минут, $v = 12$ $10$ км на $12$ км/ч — $50 + 40 = 90$ минут (через $245$ м), $v = 10 : 1{,}25 = 8$ $14$ км на $15$ км/ч — $56 + 20 = 76$ минут (через $670$ м), $v = 14$

Ответ

$v = 10$ км/ч.

Ответ

$v = 10$ км/ч.

Главная идея

Время Лёни — чистый бег плюс по минуте на каждую остановку строго до финиша; Ваня бежит на величину задержки меньше.

«Останавливается через каждые s метров» — считаем отметки, лежащие строго до финиша (задача о столбах и промежутках).

Где легко ошибиться

Посчитать 34 остановки (10 000 : 300 с округлением вверх) или 33,3; забыть перевести км/ч в м/мин; вычесть задержку не из того времени.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 3, версия с ID 3543 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3546, 3545, 3544) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 1 попытка 2024», стр. 3 ↗: ID 3543: 10; ID 3546: 12; ID 3545: 8; ID 3544: 14.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Перевод км/ч в метры в минуту
Время = путь : скорость
Целая часть числа

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →