Задача 1. Множитель до точной степени

Разложим A на простые множители

$1188 = 4 \cdot 297 = 4 \cdot 27 \cdot 11$, то есть

Если $A \cdot m = n^k$, то разложение $n^k$ получается из разложения $n$ умножением всех показателей на $k$. Поэтому в $A \cdot m$ каждый простой множитель входит в степени, кратной $k$, — и наоборот, если все показатели делятся на $k$, число является $k$-й степенью.

Чего не хватает до квадрата и до куба

Умножение на $m$ только увеличивает показатели. Каждый показатель надо поднять до ближайшего числа, кратного $k$, — меньше домножить нельзя.

Квадрат ($k = 2$): показатели $2, 3, 1$ превращаются в $2, 4, 2$. Нужно добавить одну тройку и одну единицу к показателю $11$: $m = 3 \cdot 11 = 33$. Действительно, $1188 \cdot 33 = 39\,204 = 198^2$.

Куб ($k = 3$): показатели $2, 3, 1 \to 3, 3, 3$, нужно $m = 2 \cdot 11^2 = 242$.

Большие степени не выгоднее

При $k \ge 4$ показатель числа $11$ надо поднять с $1$ хотя бы до $k \ge 4$, то есть $m$ делится на $11^3 = 1331$, — это гораздо больше $33$.

Значит, наименьший множитель — $33$: при нём получается квадрат, а любой подходящий множитель для квадрата делится на $3 \cdot 11$, для куба — на $2 \cdot 11^2$, для больших степеней — на $11^3$.