Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Центр окружности $\omega$ радиуса $R$ расположен на гипотенузе $AC$ треугольника $ABC$ Известно, что $\omega$ пересекает $AC$ в точках $P$ и $E$ ( $P$ лежит между $A$ и $E$ ) и касается обоих катетов треугольника $ABC$ Найдите $CE$ если $AP = 4$ а радиус окружности $\omega$ равен $10{,}5$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Где лежит центр окружности, касающейся обоих катетов? Отметь точки касания $K$ и $L$ — какая фигура получилась вместе с $B$ и $O$ В модели поворачивай гипотенузу и подгоняй $AP$ Ниже можно сверить ответ — длину $CE$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПоворачиваем гипотенузу

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Поворачиваем гипотенузу

При каком положении гипотенузы AP такое, как в условии, и чему тогда равно CE?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй прямой угол и окружность радиуса 10,5, касающуюся обеих его сторон. Проведи через центр прямую до пересечения со сторонами. Что общего у двух треугольников, которые она отрезает?

Подсказка 1

Центр $O$ равноудалён от катетов и лежит на биссектрисе прямого угла $B$ С точками касания $K \in AB$ и $L \in BC$ получается квадрат $BKOL$ со стороной $R$ $AO = AP + R = 14{,}5$

Подсказка 2

Из прямоугольного треугольника $AKO$ $AK = \sqrt{14{,}5^2 - 10{,}5^2} = 10$ . Треугольники $AKO$ и $OLC$ подобны (у них соответственно параллельные стороны). Найди $CO$ а затем $CE = CO - R$

Разобрать решение по шагам

Квадрат у прямого угла

Окружность касается катетов $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ Радиусы в точки касания перпендикулярны катетам: $OK \perp AB$ $OL \perp BC$ а угол $B$ прямой. Значит, $BKOL$ — прямоугольник с равными соседними сторонами $OK = OL = R$ то есть квадрат.

Отрезок AO и касательная AK

Точка $P$ лежит на окружности между $A$ и центром (она ближе к $A$ чем $E$ ), поэтому $AO = AP + PO = 4 + 10{,}5 = 14{,}5$ . В прямоугольном треугольнике $AKO$ с гипотенузой $AO$ и катетом $OK = 10{,}5$

AK = \sqrt{14{,}5^2 - 10{,}5^2} = \sqrt{(14{,}5 - 10{,}5)(14{,}5 + 10{,}5)} = \sqrt{4 \cdot 25} = 10.

Подобные треугольники AKO и OLC

$OL \parallel AB$ (оба перпендикулярны $BC$ ), а $KO \parallel BC$ Поэтому у прямоугольных треугольников $AKO$ и $OLC$ острые углы при $A$ и при $O$ равны как соответственные, и треугольники подобны: катету $AK$ соответствует катет $OL$ гипотенузе $AO$ — гипотенуза $OC$

\frac{OC}{AO} = \frac{OL}{AK} \quad\Rightarrow\quad OC = \frac{14{,}5 \cdot 10{,}5}{10} = 15{,}225.

BKOL — квадрат со стороной R; прямоугольные треугольники AKO и OLC подобны, поэтому CO = AO · OL : AK.

Отрезок CE

Точка $E$ лежит на окружности между центром и $C$ поэтому

CE = CO - R = 15{,}225 - 10{,}5 = 4{,}725.

Треугольник существует: катеты $AB = AK + R = 20{,}5$ и $BC = R + LC = 10{,}5 + \dfrac{10{,}5^2}{10} = 21{,}525$ , центр $(10{,}5;\,10{,}5)$ лежит на гипотенузе.

Проверка

Координаты: $B = (0;\,0)$ $A = (0;\,20{,}5)$ $C = (21{,}525;\,0)$ $O = (10{,}5;\,10{,}5)$ Точка $O$ лежит на прямой $AC$ $\tfrac{10{,}5}{21{,}525} + \tfrac{10{,}5}{20{,}5} = 0{,}4878 + 0{,}5122 = 1$ . $AO = \sqrt{10{,}5^2 + 10^2} = 14{,}5$ , так что $AP = 4$ $CO = \sqrt{11{,}025^2 + 10{,}5^2} = 15{,}225$ , $CE = 4{,}725$ Другие версии: $AP = 5$ $R = 7{,}5$ — $AK = 10$ $CO = 9{,}375$ $CE = 1{,}875$ $AP = 20$ $R = 15{,}6$ — $AK = 32$ $CO = 17{,}355$ $CE = 1{,}755$ $AP = 3$ $R = 12$ — $AK = 9$ $CO = 20$ $CE = 8$

Ответ

$CE = 4{,}725$

Ответ

$CE = 4{,}725$

Главная идея

Центр окружности, касающейся обоих катетов, — вершина квадрата BKOL; AK находится из треугольника AKO, а CO — из подобия треугольников AKO и OLC.

Окружность касается двух сторон угла — центр на биссектрисе, радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам; у прямого угла получается квадрат.

Где легко ошибиться

Взять AO = AP вместо AP + R; перепутать соответственные стороны в подобии (OC = AO·AK/OL); посчитать CE = CO + R.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 7, версия с ID 3561 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3564, 3563, 3562) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 6) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 1 попытка 2024», стр. 7 ↗: ID 3561: 4,725; ID 3564: 1,875; ID 3563: 1,755; ID 3562: 8.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Окружности и касательные →

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Нужна школьная база

Касательная перпендикулярна радиусу
Теорема Пифагора
Подобие прямоугольных треугольников

Приёмы решения: Подобие треугольников

Задать вопрос по задаче →