Задача 6. Три равные дроби

Из условия следует (a − b)(a + b + c) = 0

Знаменатели не равны нулю (иначе дроби не определены). Из равенства первых двух дробей

то есть $(a - b)(a + b + c) = 0$. Точно так же из равенства второй и третьей дробей $(b - c)(a + b + c) = 0$.

Два случая

Если $a + b + c \ne 0$, то $a = b$ и $b = c$, то есть $a = b = c$. Иначе $a + b + c = 0$.

Оба случая действительно возможны. При $a = b = c = t \ne 0$ каждая дробь равна $\dfrac{t}{-3t} = -\dfrac13$. При $a + b + c = 0$ получаем $b + c = -a$, и каждая дробь равна $\dfrac{a}{-a - 5a} = -\dfrac16$ (например, $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$: знаменатели $-6$, $-12$, $18$ не нули).

Значение выражения в каждом случае

Запишем выражение как $\dfrac{2(b + c)}{a} + \dfrac{5(a + c)}{b}$.

При $a = b = c$: $\;2 \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 14$.

При $a + b + c = 0$: $b + c = -a$, $a + c = -b$, поэтому выражение равно $2 \cdot (-1) + 5 \cdot (-1) = -7$.

Других значений нет, наименьшее из двух — $-7$.