Математика · 9 класс

Две свечи одинаковой длины зажгли одновременно. Первая сгорает полностью за $6$ часов, вторая — за $3$ часа (свечи горят равномерно). Через сколько часов после зажигания длина оставшейся части первой свечи станет ровно в $2$ раза больше длины оставшейся части второй?

На шахматной доске $6\times 6$ две клетки объявлены запретными: $(1;1)$ и $(2;3)$. Сколькими способами можно расставить на доске $6$ ладей так, чтобы никакие две не били друг друга (то есть в каждой строке и в каждом столбце стояло ровно по одной ладье) и при этом ни одна ладья не стояла на запретной клетке?

Три параллельные хорды одной окружности имеют длины $50$, $66$ и $78$. Хорда длины $66$ лежит между двумя другими и равноудалена от них. Найдите расстояние между хордами длины $50$ и $78$.

Числа $x$, $y$ удовлетворяют условию $x^2+xy+y^2=9$. Найдите наибольшее возможное значение произведения $xy$.

Сколько существует упорядоченных пар $(x;y)$ натуральных чисел, не превосходящих $40$, для которых произведение $xy$ является точным квадратом?

Секцию посещают $11$ спортсменов. Из них тренер набирает команду из $6$ человек. Среди спортсменов есть два брата: они выступают только вместе — либо оба входят в команду, либо оба остаются вне её. Ещё двое спортсменов, наоборот, в ссоре и вместе в одной команде играть отказываются. Остальные семеро ограничений не имеют. Сколькими способами можно набрать команду?

Отрезок $MN$ — биссектриса треугольника $KLM$. Найдите $NL$, если $MN = ML$, $KN = 18$, $KM = 27$.

Сколько среди чисел $1, 2, \dots, 50$ таких, которые можно представить в виде суммы двух или более последовательных натуральных чисел?

Внутри треугольника $ABC$ отмечены точки $U$ и $V$. Расстояния от точки $U$ до прямых $BC$, $CA$ и $AB$ равны $18$, $12$ и $13$ соответственно, а расстояния от точки $V$ до прямых $CA$ и $AB$ равны $9$ и $11$ соответственно. Радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ равен $15$. Найдите расстояние от точки $V$ до прямой $BC$.

Сколькими способами число $20$ можно представить в виде упорядоченной суммы слагаемых, каждое из которых равно $2$ или $3$?