Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №6 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Секцию посещают $11$ спортсменов. Из них тренер набирает команду из $6$ человек. Среди спортсменов есть два брата: они выступают только вместе — либо оба входят в команду, либо оба остаются вне её. Ещё двое спортсменов, наоборот, в ссоре и вместе в одной команде играть отказываются. Остальные семеро ограничений не имеют. Сколькими способами можно набрать команду?

Дано: В секции $11$ спортсменов; команда из $6$ человек. Два брата — только вместе (оба в команде или оба вне её). Двое ссорящихся — не вместе (в команде не более одного из них). Остальные семеро без ограничений. Найти число способов набрать команду.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Сколько команд можно набрать?

Как меняется число допустимых команд, если в секции другое число спортсменов или команда другого размера? Какой из двух случаев — «братья в команде» или «братья вне команды» — даёт больше?

Спортсменов в секции, чел.Размер команды, чел.

Модель загружается…

Модель предполагает ровно четырёх ограниченных спортсменов (двое братьев и двое ссорящихся), поэтому при $s \ge 6$ остаются хотя бы двое обычных. Если мест для обычных не хватает или их нужно больше, чем обычных есть, клетка гаснет и даёт $0$ считаем $C_{k}^{j} = 0$ при $j < 0$ или $j > k$ Данные по умолчанию — вариант 1 ( $s = 11$ $m = 6$ ответ $154$ ); остальные варианты: $(11, 5) \to 168$ $(12, 6) \to 322$ $(12, 5) \to 308$

Попробуйте самостоятельно. Подумайте, кого из спортсменов условия задачи на самом деле ограничивают, а кого — нет.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Не пытайтесь пересчитать все команды сразу. Ограничения касаются только четырёх человек: отделите их от остальных семерых и разберите, что может происходить с этими четырьмя, — а семеро обычных пусть просто «добирают» команду до $6$ человек.

Подсказка 2

Разберите сначала случай, когда оба брата в команде: сколько из $6$ мест остаётся свободными и кто их может занять? Помните, что ссорящиеся — два разных человека: команда с одним из них и команда с другим — разные команды. Затем так же разберите случай, когда братья остались вне команды.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Выделяем особых и обычных

Среди $11$ человек четверо «особых»: пара братьев $B_1, B_2$ и пара ссорящихся $X, Y$ Остальные $11 - 4 = 7$ спортсменов обычные — их можно брать в любом составе.

Зачем так: ограничения касаются только четырёх человек. Как только решено, кто из них в команде, оставшиеся места заполняются обычными спортсменами без всяких условий — простым числом сочетаний.

Шаг 2. Перебираем допустимые состояния особых

Для братьев допустимы ровно два состояния: оба в команде (занимают $2$ места) или оба вне её ( $0$ мест). Для ссорящихся — три: никого ( $0$ мест), только $X$ или только $Y$ ( $1$ место, $2$ варианта). Состояние «оба ссорящихся» запрещено.

Эти выборы независимы, поэтому всего $2 \cdot 3 = 6$ комбинаций состояний, и у каждой своё число занятых мест. Ни одна команда не попадает в две комбинации сразу: по составу команды состояние каждой пары восстанавливается однозначно, значит двойного счёта не будет.

Допустимые состояния особых: у братьев два, у ссорящихся три (четвёртое, «X и Y вместе», запрещено). Выборы независимы — всего 2 · 3 = 6 случаев, и в каждом своё число занятых мест.

Шаг 3. Случай «братья в команде»

Начинаем с этого случая, потому что братья сразу занимают два места: он самый «тесный», и в нём лучше всего видно, как состояние ссорящихся меняет число мест для обычных. Занято $2$ места, свободно $6 - 2 = 4$

Без ссорящихся все $4$ места отдаём обычным:

C_{7}^{4} = 35.

С одним из ссорящихся ( $2$ способа выбрать, кого) обычным остаётся $3$ места:

2 \cdot C_{7}^{3} = 2 \cdot 35 = 70.

Итого в этом случае

N_1 = C_{7}^{4} + 2\,C_{7}^{3} = 35 + 70 = 105.

Шаг 4. Случай «братья вне команды»

Второе состояние братьев устроено так же, только мест для обычных больше: повторяем ту же схему. Все $6$ мест свободны.

Без ссорящихся:

C_{7}^{6} = 7.

С одним из ссорящихся ( $6 - 1 = 5$ мест для обычных):

2 \cdot C_{7}^{5} = 2 \cdot 21 = 42.

Итого в этом случае

N_2 = C_{7}^{6} + 2\,C_{7}^{5} = 7 + 42 = 49.

Таблица шести случаев: столбец — состояние братьев, строка — состояние ссорящихся; в клетке — сколько мест достаётся обычным и число способов их заполнить. Сумма левого столбца — N₁ = 105, правого — N₂ = 49.

Шаг 5. Складываем

Случаи «братья в команде» ( $N_1$ ) и «братья вне команды» ( $N_2$ ) не пересекаются и вместе исчерпывают все допустимые команды, поэтому ответы складываются:

N = N_1 + N_2 = 105 + 49 = 154.

В общем виде: если в секции $s$ человек, команда из $m$ человек и $k = s - 4$ обычных спортсменов, то

\begin{aligned} N ={}& C_{k}^{m-2} + 2\,C_{k}^{m-3} \\[0.45em] &+ C_{k}^{m} + 2\,C_{k}^{m-1}, \end{aligned}

где считаем $C_{k}^{j} = 0$ при $j < 0$ или $j > k$ (для всех четырёх вариантов задачи индексы в допустимых пределах).

Проверка

Проверим другим способом — через дополнение. Сначала учтём только братьев: команд с обоими братьями $C_{9}^{4} = 126$ (добираем $4$ из $9$ остальных), команд без братьев $C_{9}^{6} = 84$ всего $210$

Теперь выбросим команды, где оба ссорящихся вместе. С братьями таких $C_{7}^{2} = 21$ (оба брата, оба ссорящихся, ещё $2$ обычных), без братьев — $C_{7}^{4} = 35$ Получаем

210 - 21 - 35 = 154

— совпало; полный перебор всех $C_{11}^{6} = 462$ подмножеств на компьютере также даёт $154$

Ответ

154 способа.

Главная идея

Ограничения касаются лишь четырёх человек. Перебираем допустимые состояния «особых» (для братьев $2$ для ссорящихся $3$ ), а оставшиеся места в команде заполняем семерыми обычными спортсменами числом сочетаний. Итог — сумма по непересекающимся случаям.

Как только в задаче на выбор появляются «вместе или никак» и «ни в коем случае вместе», это сигнал к разбору случаев по особым элементам: каждому состоянию особых соответствует фиксированное число свободных мест, которые добирают из «обычных» элементов. Альтернативный сигнал — считать через дополнение: сначала учесть одно ограничение, потом вычесть нарушения второго.

Где легко ошибиться

Учитывать «ссорящихся» как одно ограничение, а не как два разных человека: писать $C_{7}^{3}$ вместо $2\,C_{7}^{3}$ в случае «взяли одного из ссорящихся». Тогда получается $35 + 35 + 7 + 21 = 98$ вместо $154$ Выбор того, кого из двух взять, — это отдельный множитель $2$ потому что команды «с $X$ без $Y$ » и «с $Y$ без $X$ » различны.

Источник и авторство

Физтех · математика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 6.1 (ID 6089).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Сочетания
Правила сложения и умножения

Приёмы решения: Разбор случаев · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →