Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №10 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Сколькими способами число $20$ можно представить в виде упорядоченной суммы слагаемых, каждое из которых равно $2$ или $3$

Дано: Представляемое число: $20$ Слагаемые: каждое равно $2$ или $3$ Сумма упорядоченная: $2+3$ и $3+2$ — разные представления. Найти: число таких представлений.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Сколько упорядоченных сумм из двоек и троек

Меняйте число n от 2 до 26 и смотрите, сколько получается упорядоченных сумм f(n) и сколько у n допустимых составов (a, b). Проверьте: f(n) всегда равно f(n−2) + f(n−3)?

Представляемое число n

Модель загружается…

Число n — целое, от 2 до 26: в этот диапазон входят все четыре варианта задачи (n = 20, 22, 24, 26). Значения f(n) быстро растут, поэтому больших n в модели нет — так график остаётся читаемым. Число n бывает только целым, поэтому график f(n) нарисован ступеньками. Модель считает только суммы из слагаемых 2 и 3; при n = 2 и n = 3 сумма одна.

Попробуйте самостоятельно. Начните с маленьких чисел: сколько таких сумм у $5$ у $6$ у $7$ Выпишите их все и подумайте, от чего зависит количество, если известно, сколько в сумме двоек и сколько троек.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сумма «упорядоченная» означает, что $2+3$ и $3+2$ — разные способы. Разбейте все способы на группы по количеству троек: внутри одной группы число слагаемых фиксировано, и остаётся лишь расставить тройки по местам.

Подсказка 2

Пусть в сумме $a$ двоек и $b$ троек. Тогда $2a+3b=20$ Из чётности правой части следует, что $b$ чётно, и возможных пар $(a,b)$ совсем немного — найдите их все.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Сколько двоек и сколько троек

Любая такая сумма содержит некоторое число $a$ двоек и $b$ троек, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа, причём

2a+3b=20.

Правая часть чётна, значит чётна и левая. Слагаемое $2a$ чётно, поэтому $3b$ чётно, а так как $3$ нечётно, чётно само $b$

Кроме того $3b\le 20$ поэтому $b\le 6$ Перебираем $b=0,2,4,6$ и находим $a=\dfrac{20-3b}{2}$ при чётном $b$ числитель чётен, так что $a$ целое, а из $3b\le 20$ следует $a\ge 0$ Получаем четыре пары $(a,b)$

(10,0),\ (7,2),\ (4,4),\ (1,6).

Пара с $b=8$ невозможна, так как $3\cdot 8=24>20$ (см. таблицу на рисунке).

Зачем это нужно: порядок слагаемых мы пока не учитываем, но зато мы разбили все способы на непересекающиеся группы — по составу суммы.

Перебираем число троек

b

от

0

до

7

Подходят только чётные

b\le 6

(выделены): только у них число двоек

a

целое и неотрицательное.

Шаг 2. Считаем расстановки при фиксированном составе

Пусть состав фиксирован: $a$ двоек и $b$ троек. Сумма — это строка из $a+b$ слагаемых. Способ полностью определяется тем, на каких местах стоят тройки (на остальных автоматически стоят двойки).

Выбрать $b$ мест из $a+b$ можно $C_{a+b}^{b}$ способами — это число сочетаний из $a+b$ по $b$ и разные выборы дают разные суммы. Значит, в группе с составом $(a,b)$ ровно

C_{a+b}^{b}

способов. Например, для состава $(7,2)$ это выбор двух мест для троек из девяти (см. рисунок):

C_{9}^{2}=\dfrac{9\cdot 8}{2}=36.

Как увидеть этот ход: слагаемые одного вида неразличимы, поэтому считаем не перестановки, а выбор позиций.

Состав

(7,2)

девять мест, тройки стоят на местах

3

7

Сумма задаётся выбором двух мест для троек; таких выборов

C_{9}^{2}=36

Шаг 3. Складываем по всем составам

Зачем складывать: каждая сумма попадает ровно в одну группу (состав определяется однозначно), а группы не пересекаются, поэтому общее число способов — это сумма чисел по группам.

Применяем формулу шага 2 к четырём парам из шага 1:

\begin{aligned}(10,0)&:\ C_{10}^{0}=1,\\[0.45em] (7,2)&:\ C_{9}^{2}=36,\\[0.45em] (4,4)&:\ C_{8}^{4}=70,\\[0.45em] (1,6)&:\ C_{7}^{6}=7.\end{aligned}

Два последних числа сосчитаем явно. Выбрать $4$ места из $8$

C_{8}^{4}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=70.

Выбрать $6$ мест из $7$ — всё равно что выбрать одно место, которое останется двойке:

C_{7}^{6}=C_{7}^{1}=7.

Итого:

1+36+70+7=114.

Шаг 4. Проверка полноты

Зачем проверять: при переборе составов легко потерять одну пару $(a,b)$ а это сдвигает ответ на десятки.

Мы учли все составы: при нечётном $b$ уравнение $2a+3b=20$ не имеет решений, а при $b\ge 8$ одни только тройки уже превышают $20$

Порядок учтён именно так, как требует условие: суммы с одинаковым составом, но разной расстановкой слагаемых посчитаны как разные.

Проверка

Проверим вторым способом. Обозначим через $f(n)$ число упорядоченных сумм для числа $n$ Первое слагаемое равно $2$ или $3$ а остаток суммы — произвольная упорядоченная сумма для $n-2$ или $n-3$ поэтому

f(n)=f(n-2)+f(n-3),

f(0)=1,\quad f(1)=0,\quad f(2)=1.

Заполняем значения по порядку, по четыре в строке:

$f(3),\dots,f(6)$ $1,\ 1,\ 2,\ 2$
$f(7),\dots,f(10)$ $3,\ 4,\ 5,\ 7$
$f(11),\dots,f(14)$ $9,\ 12,\ 16,\ 21$
$f(15),\dots,f(18)$ $28,\ 37,\ 49,\ 65$
$f(19),\ f(20)$ $86,\ 114$

Последний шаг:

f(20)=f(18)+f(17)

f(20)=65+49=114

— столько же, сколько по составам.

Малый случай для ручной проверки: $f(7)=3$ — это $2+2+3$ $2+3+2$ $3+2+2$ что совпадает с $C_{3}^{1}=3$ для состава $(2,1)$

Ответ

114

Главная идея

Разбить все упорядоченные суммы на группы по составу (сколько двоек, сколько троек): состав находится из уравнения $2a+3b=20$ с учётом чётности, а внутри группы способов ровно $C_{a+b}^{b}$ — столько, сколькими способами можно выбрать места для троек.

Слова «упорядоченная сумма» с двумя видами слагаемых — сигнал к двум приёмам сразу: либо «первое слагаемое $2$ или $3$ » и рекуррентность $f(n)=f(n-2)+f(n-3)$ либо «фиксируем состав и выбираем позиции». Если число небольшое (как $20$ ) и видов слагаемых два, второй приём даёт ответ в несколько строк и удобно проверяется первым.

Где легко ошибиться

При подсчёте расстановок для состава $(a,b)$ считают перестановки всех $a+b$ слагаемых как различных и берут $(a+b)!$ — но двойки между собой неразличимы, как и тройки. Например, для $(7,2)$ получилось бы $9!$ вместо $C_{9}^{2}=36$ Правильно считать выбор позиций для троек (или, что то же самое, $\dfrac{(a+b)!}{a!\,b!}$ ).

Источник и авторство

Физтех · математика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 10.1 (ID 6105).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Уравнение в неотрицательных целых числах
Сочетания
Рекуррентный подсчёт

Приёмы решения: Разбор случаев · Последовательный подсчёт без повторов · Переход от шага к следующему

Задать вопрос по задаче →