Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №4 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Числа $x$ $y$ удовлетворяют условию $x^2+xy+y^2=9$ Найдите наибольшее возможное значение произведения $xy$

Дано: числа $x$ $y$ связаны одним равенством

x^2+xy+y^2=9.

Найти: наибольшее возможное значение произведения

xy

(и обязательно указать, при каких

x

y

оно достигается).

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Как максимум xy зависит от C

Число в правой части условия x² + xy + y² = C меняется. Чему равно наибольшее xy и где оно достигается?

C — правая часть условия

Модель загружается…

Формула max xy = C/3 верна для C > 0 и действительных x, y; при C ≤ 0 кривая вырождается (C = 0 — одна точка, C < 0 — пустое множество), поэтому ползунок начинается с 1. Если x, y целые, ответ может быть другим (при C = 9 — только 0).

Попробуйте сначала сами. Подставьте несколько пар, удовлетворяющих условию: $x=3$ $y=0$ $x=3$ $y=-3$ $x=0$ $y=-3$ подберите ещё одну-две. Какое наибольшее значение $xy$ у вас получилось? А теперь главный вопрос: как доказать, что больше нельзя?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Выражение $x^2+xy+y^2$ очень похоже на $x^2+y^2$ с «лишним» слагаемым $xy$ Вспомните, как связаны $x^2+y^2$ и $xy$ для любых чисел: что больше — $x^2+y^2$ или $2xy$ и при каких $x$ $y$ они равны?

Подсказка 2

Перепишите условие в виде $x^2+y^2=9-xy$ Левую часть можно оценить снизу через $xy$ — после этого останется неравенство, в котором участвует только $xy$ В конце обязательно предъявите пару $(x;y)$ на которой оно превращается в равенство.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Обозначаем искомое и отделяем $x^2+y^2$

Спрашивают про $xy$ поэтому обозначим произведение одной буквой: $t=xy$ Цель — получить неравенство, в котором участвует только $t$

В условии $x^2+xy+y^2=9$ стоят сумма квадратов и произведение; перенесём произведение вправо:

x^2+y^2=9-t.

Слева — симметричная сумма квадратов, про которую известно классическое неравенство. Именно оно и свяжет левую часть с $t$

Шаг 2. Применяем $(x-y)^2\ge 0$

Для любых действительных $x$ $y$ верно $(x-y)^2\ge 0$ то есть

x^2+y^2\ge 2xy=2t.

Почему именно оно? Нам нужна оценка $t$ сверху. Значит, левую часть $x^2+y^2=9-t$ надо оценить снизу, причём так, чтобы в оценке было $t$ и чтобы она росла вместе с $t$ Ровно это и даёт $x^2+y^2\ge 2t$

Есть и «соседнее» неравенство $(x+y)^2\ge 0$ то есть $x^2+y^2\ge -2t$ Но после подстановки оно даёт только $t\ge -9$ — оценку снизу, а нам нужна оценка сверху.

Подставляем $x^2+y^2=9-t$

\begin{aligned} 9-t &\ge 2t,\\[0.45em] 3t &\le 9,\\[0.45em] t &\le 3. \end{aligned}

Итак, $xy\le 3$ для любых $x$ $y$ удовлетворяющих условию. Это оценка сверху, но ещё не ответ: пока неизвестно, бывает ли $xy$ равно $3$

Шаг 3. Проверяем достижимость

Неравенство $(x-y)^2\ge 0$ обращается в равенство ровно при $x=y$ — значит, именно там надо искать пару, на которой $xy=3$ Подставляем $y=x$ в условие:

3x^2=9,\qquad x^2=3,

то есть $x=y=\sqrt3$ или $x=y=-\sqrt3$

Проверяем: $x^2+xy+y^2=3+3+3=9$ — условие выполнено, и $xy=\sqrt3\cdot\sqrt3=3$ Значение $3$ действительно достигается.

На рисунке это видно так: все пары $(x;y)$ из условия образуют наклонный эллипс, а пары с $xy=3$ — гиперболу. Гипербола $xy=3$ касается эллипса ровно в двух точках $(\sqrt3;\sqrt3)$ и $(-\sqrt3;-\sqrt3)$ — это и есть точки максимума.

Все пары (x; y), удовлетворяющие условию x² + xy + y² = 9, образуют наклонный эллипс. Гипербола xy = 3 касается его ровно в точках (√3; √3) и (−√3; −√3) — это точки максимума; гипербола xy = 1 для сравнения пересекает эллипс в четырёх точках.

Шаг 4. Почему оценка и пример вместе дают ответ

Задача «найти наибольшее значение» всегда состоит из двух половин: доказать, что больше некоторого числа не бывает (шаг 2), и показать, что это число бывает (шаг 3). Мы сделали обе: $xy\le 3$ всегда, и $xy=3$ при $x=y=\sqrt3$ Поэтому

\max xy=3.

На втором рисунке видно, что гипербола $xy=1$ пересекает эллипс (значение $1$ достигается, но не максимально), $xy=3$ его касается (это максимум), а $xy=5$ до эллипса не достаёт (значение $5$ невозможно).

Три состояния: xy = 1 пересекает эллипс (значение достигается, но не максимально), xy = 3 касается (максимум), xy = 5 до эллипса не достаёт (невозможно). Оценка без примера — ещё не ответ.

Проверка

Проверка вторым способом (через Виета). Пусть $s=x+y$ $t=xy$ Тогда

x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=s^2-t,

и условие принимает вид $s^2=9+t$

Числа $x$ $y$ — действительные корни уравнения $z^2-sz+t=0$ поэтому его дискриминант неотрицателен: $s^2-4t\ge 0$ Подставляем $s^2=9+t$

9+t-4t\ge 0,\qquad t\le 3.

Равенство — при $s^2=4t=12$ $s=\pm 2\sqrt3$ то есть снова $x=y=\pm\sqrt3$

Контрольные точки: $(3;0)$ даёт $xy=0$ $(3;-3)$ даёт $xy=-9$ $(\sqrt3;\sqrt3)$ даёт $xy=3$ Первые две меньше $3$ третья лежит на кривой и достигает оценки — всё согласуется.

Ответ

$3$ (достигается при $x=y=\sqrt3$ и при $x=y=-\sqrt3$ ).

Главная идея

Условие $x^2+xy+y^2=9$ — это « $x^2+y^2$ плюс $xy$ ». Отделив $x^2+y^2=9-xy$ и применив $x^2+y^2\ge 2xy$ (то есть $(x-y)^2\ge 0$ ), получаем $3xy\le 9$ $xy\le 3$ Пара $x=y=\sqrt3$ показывает, что оценка точная.

Если в условии стоит симметричное выражение второй степени ( $x^2+y^2$ $x^2\pm xy+y^2$ $x^2+y^2\pm 2xy$ ), а спрашивают про $xy$ или $x+y$ — почти всегда работает одно из неравенств $x^2+y^2\ge 2xy$ $x^2+y^2\ge -2xy$ или замена $s=x+y$ $t=xy$ с условием $s^2\ge 4t$ (действительность корней). Сигнал: «симметрия + одна связь + экстремум одной симметричной величины».

Где легко ошибиться

Получить оценку $xy\le 3$ и остановиться, не предъявив пару $(x;y)$ на которой достигается равенство. Без примера $x=y=\sqrt3$ ответ не обоснован: оценка может оказаться неточной. Скажем, неравенство $x^2+y^2\ge 0$ даёт $xy\le 9$ — это верно, но ответом не является, потому что $xy=9$ на кривой не достигается (гипербола $xy=9$ эллипса не касается). Только пара «оценка + пример» доказывает, что найден именно максимум.

Источник и авторство

Физтех · математика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 4.1 (ID 6081).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Неравенства и экстремумы · Нужна школьная база

Неотрицательность квадрата
Условие равенства в неравенстве

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →