Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №3 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Три параллельные хорды одной окружности имеют длины $50$ $66$ и $78$ Хорда длины $66$ лежит между двумя другими и равноудалена от них. Найдите расстояние между хордами длины $50$ и $78$

Дано: Окружность; три параллельные хорды длин $50$ $66$ и $78$ Хорда $66$ лежит между двумя другими и равноудалена от них. Найти расстояние между хордами $50$ и $78$

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Три параллельные хорды: от чего зависит расстояние

Меняйте длины трёх хорд (средняя равноудалена от крайних) и смотрите, как меняются расстояние между крайними хордами и радиус. Убедитесь, что расстояние определяется только тремя длинами, и найдите, при каких длинах конфигурация невозможна.

Длина нижней крайней хорды aДлина средней хорды bДлина верхней крайней хорды c

Модель загружается…

Длины безразмерные (единицы условия). Если $2b^2 \le a^2 + c^2$ трёх таких хорд не существует: средняя хорда не может быть равноудалена от крайних, и в полях $d$ $x$ $R$ стоит прочерк. Модель вычисляет радиус по длинам хорд, а не задаёт его заранее; какая из крайних хорд нижняя ( $a$ или $c$ ), на расстояние $d$ не влияет.

Попробуйте самостоятельно. Нарисуйте окружность и три параллельные хорды длин $50$ $66$ и $78$ и подумайте: какая прямая, связанная с окружностью, «видит» все три хорды одинаково? Что даёт теорема Пифагора для каждой хорды и сколько неизвестных на самом деле нужно найти?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Проведите диаметр, перпендикулярный хордам. Он делит каждую хорду пополам: половины равны $25$ $33$ и $39$ Половина хорды, расстояние от центра до хорды и радиус связаны теоремой Пифагора, так что всё сводится к положению трёх середин хорд на одной прямой.

Подсказка 2

Введите на этом диаметре координату с нулём в центре $O$ Средняя хорда равноудалена от крайних, поэтому середины хорд $50$ $66$ $78$ попадают в точки $x-h$ $x$ $x+h$ а искомое расстояние равно $2h$ Запишите три равенства вида

\begin{aligned} R^2 ={}& (\text{половина хорды})^2 \\[0.45em] &+ (\text{координата})^2 \end{aligned}

и посмотрите, какие неизвестные в них лишние.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Диаметр, перпендикулярный хордам, и три теоремы Пифагора

Зачем: три хорды параллельны, значит, у них есть общий перпендикуляр, проходящий через центр $O$ Серединный перпендикуляр к любой хорде проходит через центр, поэтому этот диаметр делит каждую из трёх хорд пополам.

Обозначим середины хорд $50$ $66$ и $78$ через $K$ $L$ и $M$ Все три точки лежат на этом диаметре, а расстояние между параллельными хордами равно расстоянию между их серединами: искомая величина $d = KM$

Пусть $B$ — конец хорды $78$ Треугольник $OMB$ прямоугольный: катеты $OM$ и $MB = 39$ гипотенуза $OB = R$ То же верно для двух других хорд с половинами $25$ и $33$

\begin{aligned} R^2 &= 25^2 + OK^2,\\[0.45em] R^2 &= 33^2 + OL^2,\\[0.45em] R^2 &= 39^2 + OM^2. \end{aligned}

Диаметр, перпендикулярный хордам, проходит через их середины

K

L

M

Для хорды

78

треугольник

OMB

прямоугольный:

R^2 = OM^2 + 39^2

Показана нижняя часть окружности; каждая подпись стоит над своей хордой и того же цвета.

Шаг 2. Координата на диаметре: середины в точках $x-h$ $x$ $x+h$

Зачем: $OK$ $OL$ $OM$ — три неизвестные без явной связи, а условие «равноудалена» говорит о положении середин на прямой. Поэтому введём на диаметре координату с нулём в $O$ знак координаты показывает, по какую сторону от центра лежит хорда.

Пусть середина $L$ средней хорды имеет координату $x$ Так как $L$ — середина отрезка $KM$ координаты $K$ и $M$ равны $x-h$ и $x+h$ где $h>0$ и искомое расстояние $d = 2h$ Квадрат расстояния от центра до хорды равен квадрату координаты её середины, поэтому равенства шага 1 принимают вид

\begin{aligned} 625 + (x-h)^2 &= R^2,\\[0.45em] 1089 + x^2 &= R^2,\\[0.45em] 1521 + (x+h)^2 &= R^2. \end{aligned}

Мы ничего не предполагали о том, лежит ли центр между хордами: знаки координат учитывают это сами.

Увеличенный фрагмент около хорд (центр

O

выше, вне рисунка; хорда

78

выходит за края). Координаты середин на диаметре:

x - h

x

x + h

искомое расстояние

d = KM = 2h

Шаг 3. Уничтожаем $x$ и $R$ одной комбинацией

Зачем: нам нужно только $h$ а $x$ и $R$ — лишние. Как заметить ход: в первом и третьем равенствах стоят $(x-h)^2$ и $(x+h)^2$ а их сумма

(x-h)^2 + (x+h)^2 = 2x^2 + 2h^2

не содержит произведения $xh$ удвоенное второе равенство содержит ровно $2x^2$ и $2R^2$

Складываем первое и третье равенства и вычитаем удвоенное второе:

\begin{aligned} 625 + 1521 - 2\cdot 1089 + 2h^2 &= 0,\\[0.45em] 2146 - 2178 + 2h^2 &= 0,\\[0.45em] 2h^2 &= 32. \end{aligned}

Значит, $h^2 = 16$ $h = 4$ и $d = 2h = 8$

В общем виде, для хорд $a$ $b$ $c$ со средней хордой $b$ та же комбинация даёт

d^2 = b^2 - \dfrac{a^2 + c^2}{2}.

Расстояние между крайними хордами зависит только от трёх длин, но не от радиуса.

Шаг 4. Проверяем, что такая окружность существует

Зачем: $d = 8$ получено из необходимого условия. Убедимся, что найдутся $x$ и $R$ удовлетворяющие всем трём равенствам шага 2, и что ответ не зависит от расположения центра.

Вычтем первое равенство из третьего. Так как

(x+h)^2 - (x-h)^2 = 4xh,

при $h = 4$ получаем

\begin{aligned} 1521 - 625 + 16x &= 0,\\[0.45em] 896 + 16x &= 0,\\[0.45em] x &= -56. \end{aligned}

Тогда из второго равенства

\begin{aligned} R^2 &= 1089 + 56^2 = 4225,\\[0.45em] R &= 65. \end{aligned}

Середины хорд имеют координаты $-60$ $-56$ $-52$ все три хорды лежат по одну сторону от центра на расстояниях $60$ $56$ и $52$ от него, а каждая хорда короче диаметра $130$ Конфигурация существует, а $d$ определено однозначно: формула шага 3 даёт $d^2$ независимо от взаимного расположения центра и хорд.

Ответ: $8$

Найденная конфигурация:

R = 65

середины хорд имеют координаты

-60

-56

-52

(вверх — плюс, нуль в

O

), то есть все хорды по одну сторону от центра. Катеты

52

39

гипотенуза

65

расстояние между крайними хордами

d = 8

Проверка

Проверка подстановкой в найденную окружность радиуса $65$ половины хорд равны $25$ $33$ $39$ расстояния от центра равны $60$ $56$ $52$ и

\begin{aligned} 25^2 + 60^2 &= 625 + 3600 = 4225,\\[0.45em] 33^2 + 56^2 &= 1089 + 3136 = 4225,\\[0.45em] 39^2 + 52^2 &= 1521 + 2704 = 4225, \end{aligned}

то есть концы всех трёх хорд лежат на окружности радиуса $65$ Расстояния $60$ $56$ $52$ идут через $4$ значит, средняя хорда равноудалена от крайних, а расстояние между крайними равно $60 - 52 = 8$ Второй способ: $OL$ — медиана в «треугольнике» $OKM$ вырожденном в отрезок, поэтому по формуле медианы (она верна и для точек на одной прямой — это проверяется раскрытием скобок в координатах)

4\,OL^2 = 2\,OK^2 + 2\,OM^2 - KM^2.

Подставляя $OK^2 = R^2 - 625$ $OL^2 = R^2 - 1089$ и $OM^2 = R^2 - 1521$ получаем

\begin{aligned} KM^2 &= 2\,OK^2 + 2\,OM^2 - 4\,OL^2 \\[0.45em] &= 4\cdot 1089 - 2\cdot 625 - 2\cdot 1521 \\[0.45em] &= 4356 - 1250 - 3042 = 64, \end{aligned}

и $KM = 8$ — тот же ответ без вычисления радиуса.

Ответ

Главная идея

Параллельные хорды «живут» на одном диаметре — перпендикулярном им. Положив центр в нуль координаты на этом диаметре, мы превращаем условие «равноудалена» в тройку $x-h$ $x$ $x+h$ а теорему Пифагора — в три уравнения с неизвестными $x$ $h$ $R$ Симметричная комбинация «первое плюс третье минус удвоенное второе» убивает $x$ и $R$ сразу и оставляет формулу для крайних хорд $a$ $c$ и средней хорды $b$

d^2 = b^2 - \dfrac{a^2+c^2}{2}.

По сути это формула медианы для точек $O$ $K$ $M$ с медианой $OL$

Слова «параллельные хорды» — сигнал провести диаметр, перпендикулярный им: он делит все хорды пополам сразу. Слово «равноудалена» — сигнал ввести координату на прямой и записать точки как $x-h$ $x$ $x+h$ Когда неизвестных больше, чем нужно (здесь $x$ и $R$ лишние), ищите комбинацию уравнений, в которой они сокращаются: сумма $(x-h)^2 + (x+h)^2$ всегда избавляется от перекрёстного члена $xh$

Где легко ошибиться

Нарисовать хорды по разные стороны от центра (или среднюю хорду через центр) и сложить расстояния: $d = OK + OM$ На самом деле здесь все три хорды лежат по одну сторону от центра на расстояниях $60$ $56$ $52$ и расстояние между крайними — разность $60 - 52$ а не сумма. Знаковая координата на диаметре снимает проблему: уравнения с $x-h$ $x$ $x+h$ верны при любом расположении центра, а вычисление с «положительными расстояниями» без знаков приводит к неверному ответу или к противоречию.

Источник и авторство

Физтех · математика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 3.1 (ID 6077).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Нужна школьная база

Перпендикуляр из центра к хорде
Теорема Пифагора
Координата на прямой

Приёмы решения: Координаты и проекции · Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →