Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №2 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

На шахматной доске $6\times 6$ две клетки объявлены запретными: $(1;1)$ и $(2;3)$ Сколькими способами можно расставить на доске $6$ ладей так, чтобы никакие две не били друг друга (то есть в каждой строке и в каждом столбце стояло ровно по одной ладье) и при этом ни одна ладья не стояла на запретной клетке?

Дано: Доска $6\times 6$ $6$ ладей, по одной в каждой строке и в каждом столбце; запретные клетки $(1;1)$ и $(2;3)$ (строка; столбец). Найти число расстановок, не задевающих запретные клетки.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Ладьи и запретные клетки: меняем размер доски

Как меняется число хороших расстановок при росте доски n×n с теми же запретными клетками (1;1) и (2;3)?

Размер доски n

Модель загружается…

Формула $n! - 2\,(n-1)! + (n-2)!$ верна только для двух запретных клеток в разных строках и разных столбцах и при $n \ge 3$ (иначе клетки $(2;3)$ на доске нет). Сами числа растут очень быстро: при $n = 10$ всех расстановок уже $3\,628\,800$ Поэтому на графике показана доля хороших расстановок среди всех, $1 - 2/n + 1/\bigl(n(n-1)\bigr)$ ; она растёт к $1$ Смысл имеют только целые $n$ линия лишь соединяет эти значения.

Попробуйте самостоятельно. Сначала посчитайте, сколько всего расстановок $6$ ладей на доске $6\times 6$ если в каждой строке и в каждом столбце стоит ровно одна ладья и запретов нет. Потом подумайте, как учесть две запретные клетки, не перебирая расстановки вручную.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Считать «хорошие» расстановки напрямую неудобно: запрет мешает. Посчитайте все расстановки без запрета (их $6! = 720$ ), а затем вычтите те, в которых ладья стоит хотя бы на одной из клеток $(1;1)$ $(2;3)$

Подсказка 2

Если ладья стоит на клетке $(1;1)$ то первая строка и первый столбец заняты, а остальные $5$ ладей размещаются на доске $5\times 5$ — это $5! = 120$ расстановок. Столько же расстановок с ладьёй на $(2;3)$ Но среди них есть общие: те, где заняты обе запретные клетки. Подумайте, сколько их и как они влияют на вычитание.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Расстановка — это перестановка

Ладья бьёт всю свою строку и весь столбец. Условие прямо говорит: в каждой из $6$ строк ровно одна ладья, и в каждом из $6$ столбцов тоже ровно одна. Поэтому расстановка полностью задаётся тем, в каком столбце стоит ладья первой строки, в каком — второй, и так далее, причём столбцы не повторяются.

Ладья первой строки выбирает столбец $6$ способами, ладья второй — любым из оставшихся $5$ и так далее. Всего расстановок без запретов

N_0 = 6! = 720.

Зачем это нужно: теперь «расстановка» — это конкретный, удобный для подсчёта объект, и мы знаем общее число.

Пример расстановки, не нарушающей запрет: в каждой строке и в каждом столбце ровно одна ладья, запретные клетки свободны. Всего перестановочных расстановок без учёта запрета 6! = 720.

Шаг 2. Переходим к дополнению

Прямо перечислять расстановки, обходящие две клетки, неудобно: запрет «размазан» по доске. Зато легко посчитать плохие расстановки — те, где на $(1;1)$ или на $(2;3)$ стоит ладья, — и вычесть их из $720$

Как это заметить: условие вида «ни одна не стоит на…» почти всегда намекает на метод дополнения: считаем всё, затем вычитаем запрещённое.

Шаг 3. Ладья на одной запретной клетке

Пусть ладья стоит на $(1;1)$ Тогда первая строка и первый столбец заняты, а остальные $5$ ладей размещаются на оставшейся доске $5\times 5$ по тому же правилу «одна в строке, одна в столбце». Таких расстановок

A = 5! = 120.

Клетка $(2;3)$ ничем не хуже: вычёркиваем вторую строку и третий столбец, остаётся доска $5\times 5$ то есть

B = 5! = 120.

Ладья стоит на (1;1): её строка и столбец вычеркнуты (серые), оставшиеся 5 ладей занимают доску 5×5 (синяя рамка) — 5! = 120 способов. Для клетки (2;3) — аналогично: вычёркиваем строку 2 и столбец 3, и снова остаётся доска 5×5.

Шаг 4. Пересечение: обе клетки заняты

Если просто вычесть $A + B = 240$ то расстановки, где ладьи стоят и на $(1;1)$ и на $(2;3)$ окажутся вычтены дважды — их надо вернуть один раз.

Такие расстановки существуют: клетки $(1;1)$ и $(2;3)$ лежат в разных строках ( $1$ и $2$ ) и разных столбцах ( $1$ и $3$ ), так что две ладьи на них не бьют друг друга. После их установки заняты две строки и два столбца, остальные $4$ ладьи занимают доску $4\times 4$

AB = 4! = 24.

Если бы запретные клетки оказались в одной строке или в одном столбце, пересечение было бы пустым — поэтому эту проверку пропускать нельзя.

Обе запретные клетки заняты: клетки (1;1) и (2;3) не бьют друг друга, вычеркнуты строки 1, 2 и столбцы 1, 3; оставшиеся 16 клеток (синие рамки) образуют доску 4×4 — 4! = 24 способа.

Шаг 5. Включения-исключения и ответ

Плохих расстановок (хотя бы одна запретная клетка занята)

\begin{aligned} A + B - AB &= 120 + 120 - 24 \\[0.45em] &= 216. \end{aligned}

Хороших — все минус плохие:

N = 720 - 216 = 504.

Все случаи учтены: каждая расстановка либо не трогает запретные клетки (её мы и считаем), либо занимает ровно одну из них (вычтена один раз), либо обе (вычтена дважды и возвращена один раз).

Проверка

Проверка вторым способом — прямым подсчётом по первым двум строкам. Ладья первой строки стоит не в столбце $1$ то есть в одном из столбцов $2, 3, 4, 5, 6$ разберём, попала ли она в столбец $3$

Если ладья первой строки стоит в столбце $3$ ( $1$ способ), то запрет $(2;3)$ второй строке уже не мешает: столбец $3$ и так занят, свободных столбцов $5$ Остальные четыре ладьи — $4!$ способами:

1\cdot 5\cdot 4! = 120.

Если она стоит в столбце $2$ $4$ $5$ или $6$ ( $4$ способа), то для второй строки свободны $5$ столбцов, из них третий запрещён — остаётся $4$ Далее снова $4!$

4\cdot 4\cdot 4! = 384.

Итого $120 + 384 = 504$ — совпадает с ответом. Дополнительно общая формула $n! - 2(n-1)! + (n-2)!$ проверена полным перебором перестановок на компьютере для $n = 5, 6, 7, 8$

Ответ

504

Главная идея

Расстановка $6$ небьющих ладей на доске $6\times 6$ — это перестановка (по одной ладье в каждой строке и столбце), всего $6! = 720$ Запрет учитываем методом дополнения по формуле включений-исключений:

N = 6! - 2\cdot 5! + 4! = 504.

Пересечение непусто именно потому, что запретные клетки лежат в разных строках и столбцах.

Слова « $n$ ладей на доске $n\times n$ не бьют друг друга» — сигнал, что объекты — перестановки и их $n!$ Условие «ни одна не стоит на запретных клетках» — сигнал считать методом дополнения: всё минус плохие, а при двух и более запретах — включения-исключения с проверкой, совместимы ли запреты между собой.

Где легко ошибиться

Вычесть $2\cdot 5! = 240$ и забыть вернуть $4! = 24$ — тогда получится

720 - 240 = 480

вместо $504$ Расстановки, где заняты обе запретные клетки, вычитаются дважды, а они существуют, так как клетки $(1;1)$ и $(2;3)$ не бьют друг друга.

Источник и авторство

Физтех · математика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 2.1 (ID 6073).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Перестановки и факториал
Включения-исключения для двух множеств

Приёмы решения: Подсчёт дополнения · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →