Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №9 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Внутри треугольника $ABC$ отмечены точки $U$ и $V$ Расстояния от точки $U$ до прямых $BC$ $CA$ и $AB$ равны $18$ $12$ и $13$ соответственно, а расстояния от точки $V$ до прямых $CA$ и $AB$ равны $9$ и $11$ соответственно. Радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ равен $15$ Найдите расстояние от точки $V$ до прямой $BC$

Дано: Треугольник $ABC$ точка $U$ внутри: расстояния до прямых $BC$ $CA$ $AB$ равны $18$ $12$ $13$ точка $V$ внутри: расстояния до прямых $CA$ $AB$ равны $9$ $11$ радиус вписанной окружности $r = 15$ Найти: расстояние от $V$ до прямой $BC$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Попробуйте самостоятельно. Обратите внимание: сам треугольник по условию найти нельзя — его стороны не даны, и тем не менее ответ определяется однозначно. Подумайте, какое равенство связывает расстояния от внутренней точки до сторон с чем-то, что для всех точек одинаково.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Соедините внутреннюю точку с вершинами: треугольник разобьётся на три маленьких, а расстояния до сторон станут их высотами. Запишите площадь $S$ треугольника через эти расстояния. Затем сделайте то же самое для центра вписанной окружности — у него все три расстояния равны $15$

Подсказка 2

Для любой внутренней точки с расстояниями $x$ $y$ $z$ до прямых $BC$ $CA$ $AB$ получится

ax + by + cz = 2S,

а для центра вписанной окружности

15(a + b + c) = 2S.

Вычтите одно из другого и запишите результат для $U$ (все три расстояния известны) и для $V$ (одно неизвестно). Стороны $a$ $b$ $c$ так и останутся неизвестными — сравните коэффициенты при них.

Разобрать решение по шагам

Шаг 1. Площадь через расстояния до сторон

Зачем: стороны треугольника неизвестны, значит, нужно равенство, в которое они входят, но из которого их потом можно будет исключить. Самое естественное такое равенство — про площадь.

Пусть $a = BC$ $b = CA$ $c = AB$ $S$ — площадь треугольника, а $P$ — любая точка внутри него с расстояниями $x$ $y$ $z$ до прямых $BC$ $CA$ $AB$ Отрезки $PA$ $PB$ $PC$ разбивают треугольник на три, у которых $x$ $y$ $z$ — высоты:

S = S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB},

S = \dfrac{ax}{2} + \dfrac{by}{2} + \dfrac{cz}{2},

ax + by + cz = 2S.

Замечание: основание перпендикуляра из $P$ может попасть на продолжение стороны (на рисунке угол $A$ тупой, и так бывает), но высота треугольника $PBC$ всё равно равна $x$ и формула $S_{PBC} = \dfrac{ax}{2}$ не меняется.

Разбиение на три треугольника: отрезки

PA

PB

PC

(пунктир) делят треугольник на три части, а расстояния

x

y

z

— их высоты к сторонам

a

b

c

Поэтому

2S = ax + by + cz

Шаг 2. Подключаем центр вписанной окружности

Зачем: в условии дан радиус $15$ а он — расстояние от центра $I$ вписанной окружности до всех трёх сторон. Значит, $I$ — тоже внутренняя точка, и к ней применимо то же равенство.

Для $P = I$ имеем $x = y = z = 15$ поэтому

15(a + b + c) = 2S.

Вычитая это из равенства шага 1, получаем соотношение, верное для любой внутренней точки:

\begin{aligned}&a(x - 15) + b(y - 15) \\[0.45em] &\qquad + c(z - 15) = 0.\end{aligned}

Неизвестные стороны вошли в него линейно и однородно — именно это позволит их исключить.

Центр

I

вписанной окружности — тоже внутренняя точка, у которой все три расстояния равны

r = 15

то же равенство даёт

2S = 15(a + b + c)

Шаг 3. Записываем соотношение для точки $U$

Как заметить ход: для $U$ известны все три расстояния, поэтому для неё соотношение шага 2 даёт «чистое» условие на стороны.

Подставляем $x = 18$ $y = 12$ $z = 13$ Отклонения от $15$ равны $3$ $-3$ и $-2$ поэтому

3a - 3b - 2c = 0,

то есть

3a = 3b + 2c.

Сам треугольник отсюда не найти (одно уравнение на три стороны), но этого и не нужно.

Шаг 4. Записываем соотношение для точки $V$ и находим ответ

Пусть искомое расстояние от $V$ до $BC$ равно $x$ Для $V$ $y = 9$ $z = 11$ отклонения от $15$ равны $-6$ и $-4$ поэтому

a(x - 15) - 6b - 4c = 0,

a(x - 15) = 6b + 4c.

Ключевое наблюдение: правая часть ровно вдвое больше выражения $3b + 2c$ из шага 3, а оно равно $3a$

\begin{aligned}6b + 4c &= 2(3b + 2c) \\[0.45em] &= 2\cdot 3a = 6a.\end{aligned}

Поэтому

a(x - 15) = 6a,

и так как $a > 0$ получаем $x - 15 = 6$ то есть $x = 21$

После нахождения ответа: один возможный треугольник в масштабе. На схеме показаны заданные расстояния; искомое расстояние от

V

до

BC

уже найдено и равно

21

Вершины

B

C

находятся за пределами фрагмента.

Шаг 5. Полнота: ответ не зависит от треугольника, и такая конфигурация существует

Мы нигде не находили сам треугольник — ответ $21$ получен для любого треугольника, в котором такие точки есть, а по условию они есть.

Пример такого треугольника: стороны пропорциональны $4$ $2$ $3$ (тогда $3a = 3b + 2c$ ведь $3\cdot 4 = 3\cdot 2 + 2\cdot 3$ , и неравенство треугольника выполнено), а сам треугольник растянут так, чтобы радиус вписанной окружности стал $15$ Именно он изображён на рисунках, и на рисунке ниже видно: у $V$ расстояние до $BC$ действительно $21$

Для любознательных (можно пропустить): почему в таком треугольнике точки $U$ и $V$ действительно существуют и лежат внутри.

Точка $U$ Проведём прямую, параллельную $BC$ на расстоянии $18$ (со стороны $A$ ) и прямую, параллельную $CA$ на расстоянии $12$ (со стороны $B$ ). Они пересекаются внутри угла $C$ в точке $U$ пусть $z$ — расстояние от $U$ до прямой $AB$ Если бы $U$ лежала за прямой $AB$ (или на ней), то треугольники $UBC$ и $UCA$ вместе дали бы весь $ABC$ плюс треугольник $UAB$

18a + 12b - cz = 2S = 15(a + b + c).

Отсюда, учитывая $3a - 3b = 2c$

cz = 3a - 3b - 15c = -13c < 0,

что невозможно. Значит, $U$ внутри треугольника, и по шагу 1

18a + 12b + cz = 15(a + b + c),

cz = 13c,\qquad z = 13.

Точка $V$ Проведём прямые, параллельные $CA$ и $AB$ на расстояниях $9$ и $11$ внутри угла $A$ их пересечение и есть $V$ Если бы $V$ лежала за прямой $BC$ (или на ней), то так же

9b + 11c - ax = 15(a + b + c),

ax = -15a - 6b - 4c < 0,

что невозможно. Значит, $V$ внутри треугольника, и шаг 4 даёт $x = 21$

Фрагмент треугольника в масштабе (стороны

\propto 4, 2, 3

r = 15

вершины

B

C

за кадром). Точки

I

U

V

лежат на одной прямой и

IV = 2\cdot IU

гомотетия с центром

I

и коэффициентом

2

переводит расстояния

(18, 12, 13)

(21, 9, 11)

Серым — перпендикуляры из

U

синим — из

V

Проверка

Проверка вторым способом. У центра $I$ вписанной окружности расстояния до сторон равны $(15, 15, 15)$ у $U$ — $(18, 12, 13)$ то есть $U$ «отклоняется» от $I$ на $(+3, -3, -2)$ Введём знаковые расстояния до прямых сторон: знак положителен в полуплоскости, содержащей противоположную вершину. Именно знаковые расстояния меняются линейно вдоль любой прямой, поэтому при гомотетии с центром $I$ и коэффициентом $2$ отклонения удваиваются: образ $U'$ точки $U$ имеет знаковые расстояния

\begin{aligned}&(15 + 6,\ 15 - 6,\ 15 - 4) \\[0.45em] &\qquad = (21,\ 9,\ 11).\end{aligned}

Все три результата положительны, поэтому $U'$ лежит внутри треугольника и её знаковые расстояния совпадают с обычными. Расстояния $U'$ до $CA$ и $AB$ совпадают с расстояниями точки $V$ а точка внутри угла $A$ однозначно задаётся двумя расстояниями до его сторон, значит $V = U'$ и её расстояние до $BC$ равно $21$ На последнем рисунке видно: $I$ $U$ $V$ лежат на одной прямой и $IV = 2\cdot IU$ Подстановка в конкретный треугольник (стороны пропорциональны $4$ $2$ $3$ радиус вписанной окружности $15$ ) даёт ровно $21$

Ответ

Главная идея

Для любой внутренней точки $ax + by + cz = 2S$ а для центра вписанной окружности $15(a + b + c) = 2S$ вычитание даёт однородное линейное соотношение

\begin{aligned}&a(x - 15) + b(y - 15) \\[0.45em] &\qquad + c(z - 15) = 0.\end{aligned}

У точек $U$ и $V$ коэффициенты при $b$ и $c$ пропорциональны (отклонения $(-3, -2)$ и $(-6, -4)$ коэффициент $2$ ), поэтому неизвестные стороны сокращаются, и расстояние от $V$ до $BC$ определяется однозначно, хотя сам треугольник найти нельзя.

Если даны расстояния от внутренней точки до всех трёх сторон — это почти всегда сигнал к разбиению треугольника на три и записи площади $S = \dfrac{ax + by + cz}{2}$ . Если при этом дан радиус вписанной окружности, его роль — та же формула для центра: $2S = r(a + b + c)$ Если стороны найти невозможно, ищите соотношение, в которое они входят линейно, и сравнивайте коэффициенты — ответ «спрятан» в пропорциональности данных.

Где легко ошибиться

Считать, что сумма расстояний от внутренней точки до сторон постоянна (теорема Вивиани), и писать $x + 9 + 11 = 18 + 12 + 13$ , откуда $x = 23$ Это верно только для равностороннего треугольника; в общем случае постоянна лишь взвешенная сумма $ax + by + cz = 2S$ и без весов $a$ $b$ $c$ ответ получается неверным.

Источник и авторство

Физтех · математика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 9.1 (ID 6101).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Площадь треугольника
Радиус вписанной окружности
Линейные равенства

Приёмы решения: Сравнение площадей по основанию и высоте · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →