Физтех 2026/27 · Математика · 9 кл., №1 — решение · отбор · 1-я попытка

Условие

Две свечи одинаковой длины зажгли одновременно. Первая сгорает полностью за $6$ часов, вторая — за $3$ часа (свечи горят равномерно). Через сколько часов после зажигания длина оставшейся части первой свечи станет ровно в $2$ раза больше длины оставшейся части второй?

Дано: Две свечи одинаковой длины зажжены одновременно; первая сгорает полностью за $6$ ч, вторая — за $3$ ч; горение равномерное. Найти момент $t$ (в часах после зажигания), когда остаток первой свечи ровно в $2$ раза больше остатка второй.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2026/27 · первый тур, первая попытка

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Исследование после решения

Две свечи: остатки во времени

Меняйте время сгорания свечей и коэффициент. В какой момент остаток первой свечи ровно в k раз больше остатка второй? Что происходит, если первая свеча сгорает не медленнее, а быстрее второй?

Первая свеча сгорает за, чВторая свеча сгорает за, чКоэффициент k: во сколько раз остаток первой большеВремя после зажигания, ч

Модель загружается…

Формулы остатков верны, только пока обе свечи горят ( $t < a$ и $t < b$ ); после догорания остаток считается равным нулю, и отношение не определено. При $a \le b$ искомого момента нет: более быстрая (или такая же) свеча никогда не станет длиннее более медленной в $k > 1$ раз, поэтому искомый момент не вычисляется. Ось времени на графике подстраивается под выбранные $a$ и $b$ Данные по умолчанию — из условия ( $6$ ч, $3$ ч, в $2$ раза, $t^* = 2$ ).

Попробуйте самостоятельно. Задача на равномерный процесс — подумайте, как описать то, что остаётся от каждой свечи спустя некоторое время, и только потом смотрите подсказки.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Длина свечей не дана — и это не помеха: ответ от неё не зависит. Примите длину каждой свечи за $1$ и выразите оставшуюся часть каждой свечи через время $t$ (в часах). «Горят равномерно» означает, что за каждый час сгорает одна и та же доля свечи.

Подсказка 2

Первая свеча сгорает за $6$ часов, значит за час сгорает $\dfrac{1}{6}$ её длины, и через $t$ часов от неё останется $1 - \dfrac{t}{6}$ Запишите так же остаток второй свечи (она сгорает за $3$ часа) и составьте уравнение: остаток первой равен удвоенному остатку второй.

Разобрать решение по шагам

Выбираем единицу длины и переменную

Длина свечей в условии не названа, но свечи одинаковые. Поэтому примем длину каждой за $1$ (если взять длину $L$ она просто сократится в уравнении) и обозначим через $t$ время в часах после зажигания.

Так мы переводим задачу с «длин» на доли: нас интересует, какая доля каждой свечи осталась.

Записываем остаток каждой свечи как функцию времени

Первая свеча сгорает целиком за $6$ часов, значит за каждый час сгорает $\dfrac{1}{6}$ её длины; вторая сгорает за $3$ часа, то есть по $\dfrac{1}{3}$ в час. Равномерное горение — это линейная зависимость, поэтому через $t$ часов остаётся

\begin{aligned}\ell_1(t) &= 1 - \dfrac{t}{6},\\[0.45em] \ell_2(t) &= 1 - \dfrac{t}{3}.\end{aligned}

Эти формулы верны, пока свечи ещё горят: вторая догорает при $t = 3$ значит сравнивать остатки имеет смысл только при $0 \le t < 3$ (после этого остаток второй свечи равен нулю, и «в 2 раза больше нуля» не бывает). В момент $t = 0$ остатки равны, поэтому искомый момент строго положителен.

Переводим условие в уравнение

Условие «остаток первой ровно в 2 раза больше остатка второй» — это одно равенство $\ell_1(t) = 2\,\ell_2(t)$ то есть

1 - \dfrac{t}{6} = 2\left(1 - \dfrac{t}{3}\right).

Раскрываем скобки, переносим слагаемые с $t$ влево, числа — вправо:

\begin{aligned}1 - \dfrac{t}{6} &= 2 - \dfrac{2t}{3},\\[0.45em] \dfrac{2t}{3} - \dfrac{t}{6} &= 1,\\[0.45em] \dfrac{4t - t}{6} &= 1,\\[0.45em] \dfrac{t}{2} &= 1.\end{aligned}

Отсюда $t = 2$

Проверяем допустимость и единственность

Найденный момент $t = 2$ попадает в допустимый промежуток $0 < t < 3$ обе свечи ещё горят. Подставляем:

\begin{aligned}\ell_1(2) &= 1 - \dfrac{2}{6} = \dfrac{2}{3},\\[0.45em] \ell_2(2) &= 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3},\end{aligned}

и действительно $\dfrac{2}{3} = 2 \cdot \dfrac{1}{3}$ .

Уравнение линейное с ненулевым коэффициентом при $t$ поэтому другого корня нет: момент единственный. На графике ниже на вертикали $t = 2$ видно, что синий отрезок (остаток первой свечи) ровно вдвое длиннее бледного (остаток второй).

Остатки свечей как функции времени: сплошная прямая — первая свеча (догорает при

t = 6

), штриховая — вторая (догорает при

t = 3

). На вертикали

t = 2

отложены остатки

\dfrac{2}{3}

\dfrac{1}{3}

синий отрезок ровно вдвое длиннее бледного.

Что будет при других данных?

Посмотрим на задачу шире. Если первая свеча сгорает за $a$ часов, вторая за $b$ и нужен коэффициент $k > 1$ уравнение $1 - \dfrac{t}{a} = k\left(1 - \dfrac{t}{b}\right)$ даёт

t = \dfrac{(k-1)\,ab}{ka - b}.

Когда этот момент допустим? Условие $t > 0$ при $k > 1$ означает $ka - b > 0$ При этом условии неравенство $t < b$ можно упрощать, умножая на положительное $ka - b$ и деля на $b$

\begin{aligned}&\dfrac{(k-1)\,ab}{ka - b} < b\\[0.45em] \iff\ &(k-1)\,a < ka - b\\[0.45em] \iff\ &b < a.\end{aligned}

Итак, решение существует ровно тогда, когда $a > b$ (тогда и $ka > a > b$ так что $t > 0$ выполнено автоматически). Это согласуется со здравым смыслом: чтобы остаток первой свечи стал больше, первая должна гореть медленнее, а более быстрая свеча никогда не обгонит по остатку более медленную. В нашей задаче $a = 6 > b = 3$ $k = 2$ и формула даёт

t = \dfrac{1 \cdot 6 \cdot 3}{2 \cdot 6 - 3} = \dfrac{18}{9} = 2.

Проверка

Проверка другим способом — через скорости. Вторая свеча горит вдвое быстрее первой: $\dfrac{1}{3}$ длины в час против $\dfrac{1}{6}$ Значит, за одно и то же время сгоревшая часть второй вдвое больше сгоревшей части первой.

Пусть остаток второй равен $x$ тогда остаток первой равен $2x$ Сгорело соответственно $1 - x$ и $1 - 2x$ поэтому

1 - x = 2(1 - 2x),

откуда $3x = 1$ и $x = \dfrac{1}{3}$

Вторая свеча сгорела на $\dfrac{2}{3}$ длины, а за час сгорает $\dfrac{1}{3}$ — значит, прошло ровно $2$ часа. Ответ совпал.

Для сравнения: если бы вторая свеча сгорала за $4$ часа, формула из шага 5 дала бы $t = 3$ Подстановка это подтверждает: остатки равны $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1}{4}$

Ответ

Через 2 часа.

Главная идея

Равномерный процесс — это линейная функция времени. Приняв длину свечи за $1$ записываем остатки $1 - \dfrac{t}{6}$ и $1 - \dfrac{t}{3}$ а условие «в 2 раза больше» превращается в одно линейное уравнение относительно $t$ Остаётся решить его и убедиться, что в найденный момент обе свечи ещё горят.

Сигналы: слово «равномерно» (значит, доля в час постоянна — линейная зависимость), «одинаковой длины» без числа (значит, длину можно принять за $1$ она сократится), и условие вида «одна величина в $k$ раз больше другой в некоторый момент» (значит, нужно одно уравнение на время). Так устроены все задачи про свечи, бассейны и трубы: «за сколько сгорает/наполняется целиком» — это обратная скорость.

Где легко ошибиться

Поставить множитель $2$ не с той стороны: записать $\ell_2 = 2\,\ell_1$ то есть

1 - \dfrac{t}{3} = 2\left(1 - \dfrac{t}{6}\right).

После раскрытия скобок получается

1 - \dfrac{t}{3} = 2 - \dfrac{t}{3},

то есть $1 = 2$ — уравнение без корней, и ученик решает, что «задача без ответа». Чтобы не перепутать, перед составлением уравнения спросите себя, чей остаток больше: вторая свеча горит быстрее, значит её остаток меньше, и именно его нужно удваивать — $\ell_1 = 2\,\ell_2$

Источник и авторство

Физтех · математика · 9 класс · 2026/27 · первый тур, первая попытка. Официальная задача 1.1 (ID 6069).

Официальные условия ↗ · Материалы организатора ↗

Подсказки, объяснение и исследовательские модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Нужна школьная база

Линейное уравнение
Равномерное изменение длины

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →