Математика · 9 класс

Функция $f$ — квадратный трёхчлен, а $l$ — линейная функция, причём $l(1)=2$. Функция $g(x)=f(l(x))-l(f(x))$ принимает каждое действительное значение. Известно, что $g(0)=5$ и $f(0)=7$. Найдите $f(1)$.

Сколько шестизначных чисел можно записать, используя только цифры $1,2,3,4,5,8,9$, если ровно две различные цифры встречаются по два раза, а каждая другая цифра встречается не более одного раза?

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность с центром $I$. Прямая через $C$, параллельная $BI$, и прямая через $D$, параллельная $AI$, пересекаются в $P$. Найдите $\angle DPI$, если $\angle BCD=100^\circ$.

Найдите число упорядоченных пар натуральных чисел $(a,b)$, для которых $\operatorname{НОД}(a,b)=30$, а $\operatorname{НОК}(a,b)=16!$. Здесь $16!=1\cdot2\cdot3\cdots16$; порядок чисел в паре учитывается.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AD$ и $CE$ пересекаются в $H$. Окружность $\omega$ проходит через $D,H,E$. Касательные к $\omega$ в $D$ и $E$ пересекаются в $K$. Найдите $AK$, если радиус $\omega$ равен $10$, а $\angle ABC=60^\circ$.

Для каких действительных $a$ система

имеет ровно два решения? Решениями считаются различные упорядоченные пары действительных чисел $(x,y)$.

Найдите все действительные тройки $(x,y,z)$, удовлетворяющие системе