Задача 3. Параллельные прямые и вписанная окружность

Центр I лежит на биссектрисах

Центр вписанной окружности одинаково удалён от всех четырёх сторон, поэтому лежит на биссектрисах всех углов четырёхугольника. Обозначим углы $A$, $B$, $C$, $D$; по условию $C = 100^\circ$, и

Так же $AI$, $BI$, $DI$ делят пополам углы $A$, $B$, $D$.

Углы BIA и CID в сумме дают 180°

Из треугольника $ABI$: $\angle BIA = 180^\circ - \dfrac{A}{2} - \dfrac{B}{2}$. Из треугольника $CID$: $\angle CID = 180^\circ - \dfrac{C}{2} - \dfrac{D}{2}$. Сложим:

Это верно для любого описанного четырёхугольника.

Параллельные прямые переносят угол BIA в точку P

Сдвинем угол $BIA$ параллельным переносом так, чтобы $I$ попала в $P$. Его стороны лягут на прямые через $P$, параллельные $BI$ и $AI$, — то есть на прямые $PC$ и $PD$.

На рисунке официального решения (и на первом рисунке ниже) луч $PC$ смотрит в ту же сторону, что луч $IB$, а луч $PD$ — в ту же сторону, что луч $IA$. Тогда сдвинутый угол совпадает с углом $CPD$:

Это и есть известное правило: углы с соответственно сонаправленными сторонами равны.

Точки C, I, D, P лежат на одной окружности

В четырёхугольнике $CIDP$ (на этом рисунке он выпуклый: $I$ и $P$ по разные стороны от $CD$) противоположные углы при $I$ и при $P$ дают в сумме

А если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Это и есть спрятанная окружность задачи — в модели её можно включить.

Ответ для рисунка организатора: 50°

Углы $DPI$ и $DCI$ вписаны в эту окружность и опираются на одну хорду $DI$. Точки $P$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $DI$, поэтому углы равны:

Так и получается официальный ответ.

Всегда ли точки расположены так?

В условии не сказано, где окажется $P$. Увеличивай в модели угол $B$ и следи за точкой $P$: при $\angle B = 160^\circ$ она попадает в $D$, а дальше уходит на другую сторону.

Почему именно $160^\circ$? Тогда $\angle IBC = 80^\circ$, а $\angle BCD = 100^\circ$. Их сумма $180^\circ$, а это односторонние углы при прямых $BI$ и $CD$ и секущей $BC$, поэтому $BI \parallel CD$. Прямая через $C$, параллельная $BI$, — это сама прямая $CD$, она пересекает вторую прямую в точке $D$. Значит, $P = D$, и угла $DPI$ просто нет.

Такой четырёхугольник существует: например, с углами $50^\circ$, $160^\circ$, $100^\circ$, $50^\circ$. Вообще для любых четырёх углов меньше $180^\circ$ с суммой $360^\circ$ найдётся описанный четырёхугольник с такими углами: его стороны — четыре касательные к окружности, как в модели.

Если ∠B > 160°, ответ 130°

Возьмём, например, углы $A = 40^\circ$, $B = 170^\circ$, $C = 100^\circ$, $D = 50^\circ$ (второй рисунок ниже). Луч $PC$ по-прежнему смотрит туда же, куда $IB$, а луч $PD$ — уже в противоположную сторону от $IA$. Поэтому при переносе угол $BIA$ превращается не в $\angle CPD$, а в смежный с ним угол:

Теперь $P$ и $I$ лежат по одну сторону от $CD$ и видят отрезок $CD$ под одинаковым углом — значит, $C$, $I$, $D$, $P$ снова на одной окружности. Но $P$ и $C$ оказались по разные стороны от хорды $DI$. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду с разных сторон, в сумме дают $180^\circ$:

В модели это видно по положению точки $P$ относительно прямой $DI$.

Ещё одно расположение в первой ветви

При $B<160^\circ$ точка $P$ может оказаться и по другую сторону от $C$ на синей прямой. Например, возьми $A=40^\circ$, $B=50^\circ$, $C=100^\circ$, $D=170^\circ$. Тогда луч $PC$ противоположен $IB$, а $PD$ по-прежнему сонаправлен с $IA$. Поэтому $\angle CPD=180^\circ-\angle BIA=\angle CID$: теперь $P$ и $I$ видят $CD$ под равными углами с одной стороны. Точки $C,I,D,P$ снова лежат на одной окружности; $P$ и $C$ остаются по одну сторону от $DI$, так что ответ по-прежнему $50^\circ$.

Граница между двумя расположениями этой первой ветви тоже допустима: при $A/2+D=180^\circ$ прямые $AI$ и $CD$ параллельны, поэтому $P=C$. Например, это углы $60^\circ,50^\circ,100^\circ,150^\circ$. Четырёх различных точек на вспомогательной окружности здесь уже нет, но искомый угол существует: $\angle DPI=\angle DCI=50^\circ$ прямо по определению.

Почему других расположений мы не пропустили? Направление $PD$ меняется относительно $IA$ лишь при $P=D$, то есть при $B/2+C=180^\circ$. Направление $PC$ относительно $IB$ меняется при $P=C$, то есть при $A/2+D=180^\circ$. Сравнение этих односторонних углов с $180^\circ$ даёт все варианты (здесь $C=100^\circ$ и $D=260^\circ-A-B$):

На двух границах отдельно разобраны $P=C$ и $P=D$. Одновременно противоположными оба луча быть не могут: из $B>160^\circ$ следует $A/2+B>80^\circ$.

Наконец, сторону относительно $DI$ можно проверить без доверия рисунку. Луч $DI$ делит угол $ADC$ пополам, поэтому $A$ и $C$ по разные стороны от $DI$. При $B<160^\circ$ луч $DP$ противоположен $IA$, и $P$ оказывается на стороне $C$; при $B>160^\circ$ — на стороне $A$. Именно это определяет, равен ли вписанный угол $50^\circ$ или дополняет его до $180^\circ$.

Итог

• Если $\angle ABC < 160^\circ$ (как на рисунке официального решения), $\angle DPI = 50^\circ$.
• Если $\angle ABC = 160^\circ$, точка $P$ совпадает с $D$, и угол не определён.
• Если $\angle ABC > 160^\circ$, $\angle DPI = 130^\circ$.

Ни в одном случае ответ не зависит от угла $A$ — только от того, с какой стороны от $DI$ оказалась точка $P$.