Физтех 2025/26, Математика 9, финал №1 · вар. 9 — Две композиции функций: решение

Условие

Функция $f$ — квадратный трёхчлен, а $l$ — линейная функция, причём $l(1)=2$ Функция $g(x)=f(l(x))-l(f(x))$ принимает каждое действительное значение. Известно, что $g(0)=5$ и $f(0)=7$ Найдите $f(1)$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 9
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Сам трёхчлен не дан: известны только $f(0) = 7$ и то, что $l(1) = 2$ Попробуй подобрать несколько функций, удовлетворяющих всем условиям. Получится ли у них одно и то же значение $f(1)$ В модели подбирай $f$ и $l$ и смотри на график $g$ Ниже можно сверить ответ — число $f(1)$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодбери f и l

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подбери f и l

При каком наклоне l функция g принимает все значения — и меняется ли f(1), если менять сам трёхчлен?

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми l(x) = 2x и f(x) = x² + x + 7, вычисли g(x) и посмотри, все ли значения она принимает. Потом попробуй l(x) = x + 1.

Подсказка 1

Подумай, какой степени может быть $g$ Какие значения принимает квадратичная функция, а какие — линейная? Запиши $f(x) = Ax^2 + Bx + 7$ $l(x) = kx + p$ и найди у $g$ коэффициент при $x^2$

Подсказка 2

Коэффициент при $x^2$ у $g$ равен $A(k^2 - k)$ У параболы есть наименьшее или наибольшее значение, поэтому он должен быть нулём: $k = 0$ или $k = 1$ При $k = 0$ функция $l$ постоянна и $g$ тоже постоянна. Значит, $k = 1$ и $l(x) = x + 1$ Теперь подставь $x = 0$ $g(0) = f(l(0)) - l(f(0)) = f(1) - l(7)$ .

Разобрать решение по шагам

Записываем f и l буквами

Квадратный трёхчлен — это $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ где $A \ne 0$ Свободный член уже известен: $C = f(0) = 7$

Линейная функция — это $l(x) = kx + p$ Условие $l(1) = 2$ даёт $k + p = 2$ то есть $p = 2 - k$ Число $k$ (наклон прямой) пока любое, в том числе $0$

Неизвестны три числа: $A$ $B$ и $k$ Найти их все не получится — но, как увидим, для $f(1)$ это и не нужно.

Выписываем g

В $f(l(x))$ вместо $x$ подставляем $kx + p$

f(l(x)) = A(kx + p)^2 + B(kx + p) + C = Ak^2x^2 + (2Akp + Bk)\,x + Ap^2 + Bp + C.

В $l(f(x))$ всё выражение $f(x)$ умножается на $k$ потом прибавляется $p$

l(f(x)) = k(Ax^2 + Bx + C) + p = kAx^2 + kBx + kC + p.

Вычитаем; слагаемые $Bkx$ и $kBx$ сокращаются:

g(x) = A(k^2 - k)\,x^2 + 2Akp\,x + \bigl(Ap^2 + Bp + C - kC - p\bigr).

Значит, $g$ — многочлен степени не выше второй.

Какая функция принимает каждое значение

Сравним три возможных вида $g$

Парабола $y = ax^2 + bx + c$ $a \ne 0$ У неё есть вершина: при $a > 0$ график не опускается ниже вершины, при $a < 0$ не поднимается выше. Значения по другую сторону от вершины не принимаются.
Постоянная $y = c$ принимает только одно значение.
Прямая $y = mx + n$ с $m \ne 0$ принимает любое число $t$ достаточно взять $x = \dfrac{t - n}{m}$

Поэтому $g$ должна быть прямой с ненулевым наклоном: $A(k^2 - k) = 0$ и $2Akp \ne 0$

Так как $A \ne 0$ из первого равенства $k(k - 1) = 0$ $k = 0$ или $k = 1$

При $k = 0$ функция $l(x) = 2$ постоянна, и $g(x) = f(2) - 2$ — тоже постоянная. Не подходит.
При $k = 1$ получаем $p = 1$ $l(x) = x + 1$ и $g(x) = 2Ax + (A + B - 1)$ Наклон $2A \ne 0$ — подходит.

В модели это видно сразу: при любом $k$ кроме $1$ полоса значений $g$ обрывается.

Находим f(1) одной подстановкой

Теперь $l(x) = x + 1$ Подставим $x = 0$ прямо в определение $g$

g(0) = f(l(0)) - l(f(0)) = f(1) - l(7) = f(1) - 8.

По условию $g(0) = 5$ поэтому $f(1) = 5 + 8 = 13$

То же из формулы: $g(0) = A + B - 1 = 5$ то есть $A + B = 6$ и $f(1) = A + B + 7 = 13$

Такой трёхчлен существует, а f(1) от выбора не зависит

Возьмём $A = 1$ $B = 5$ $f(x) = x^2 + 5x + 7$ $l(x) = x + 1$ Тогда

f(l(x)) = (x + 1)^2 + 5(x + 1) + 7 = x^2 + 7x + 13,\qquad l(f(x)) = x^2 + 5x + 8,

и $g(x) = 2x + 5$ — прямая, принимает все значения, $g(0) = 5$ И $f(1) = 1 + 5 + 7 = 13$

Подходит и $f(x) = 2x^2 + 4x + 7$ и $f(x) = -x^2 + 7x + 7$ — любой трёхчлен с $A + B = 6$ $A \ne 0$ Сами $A$ и $B$ условие не определяет, а $f(1) = 13$ у всех одинаковое. В модели можно собрать несколько таких трёхчленов и убедиться в этом.

Проверка

Проверим по-другому, без формулы для $g$ при $l(x) = x + 1$ и $f(x) = x^2 + 5x + 7$ значение $g(0) = f(1) - l(f(0)) = 13 - 8 = 5$ — совпадает с условием. Тесты правил модели перебирают сетку значений $k$ $A$ $B$ каждый случай, где $g$ принимает все значения и $g(0) = 5$ имеет $k = 1$ и $f(1) = 13$ Для варианта $10$ той же олимпиады ( $g(0) = 3$ $f(0) = 5$ ) тот же путь даёт $f(1) = 3 + 1 + 5 = 9$ как в официальном решении.

Ответ

$f(1) = 13$

Ответ

$f(1) = 13$

Главная идея

Условие «принимает каждое значение» определяет степень g: парабола так не может, значит, коэффициент при x² равен нулю и l(x) = x + 1; дальше f(1) получается из g(0) = f(1) − l(f(0)).

Композиции функций с неизвестными коэффициентами и условие о множестве значений: сначала выяснить степень функции, а не искать все коэффициенты.

Где легко ошибиться

Получить k = 0 или k = 1 и оставить оба случая: при k = 0 функция g постоянна. Пытаться найти сами A и B — условие их не определяет, а f(1) определяет.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 9, задача 1.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Функции и графики →

Тема, знания и приёмы

Функции и графики · Нужна школьная база

Понятие функции и графика
координатная плоскость

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →