Задача 2. Две повторяющиеся цифры

Из каких цифр состоит число

Две различные цифры встречаются ровно по два раза — они занимают $4$ места из $6$. На двух оставшихся местах:

• не может стоять цифра из пар — тогда она встретилась бы три раза, а не ровно два;
• не может стоять одна и та же цифра дважды — тогда повторяющихся цифр стало бы три, а не ровно две.

Значит, там две разные новые цифры. Состав любого подходящего числа — «две пары и две одиночные»: $2 + 2 + 1 + 1 = 6$, всего четыре разные цифры. Например, $181\,983$: единицы и восьмёрки по два раза, девятка и тройка по одному.

Выбираем, какие цифры будут в числе

Две цифры для пар выбираем из семи. Порядок не важен (пара «$1$ и $8$» — то же, что «$8$ и $1$»), поэтому способов

Две одиночные цифры выбираем из оставшихся пяти:

Всего наборов цифр $21 \cdot 10 = 210$.

Расставляем цифры одного набора

Возьмём набор $1, 1, 8, 8, 3, 9$ и разложим расстановку на три шага (рисунок ниже).

1. Два места из шести для единиц: $\binom{6}{2} = 15$ способов. Единицы одинаковые, поэтому важно только, какие места заняты. 2. Два места из оставшихся четырёх для восьмёрок: $\binom{4}{2} = 6$ способов. 3. Тройка и девятка встают на два последних места: $2$ способа.

Получается $15 \cdot 6 \cdot 2 = 180$ чисел.

Проверка другим способом: если бы все шесть цифр были разными, расстановок было бы $6! = 720$. Но перестановка двух единиц между собой не меняет число, перестановка двух восьмёрок — тоже, поэтому каждое число посчитано $2 \cdot 2 = 4$ раза: $720 / 4 = 180$.

Перемножаем

Выбор цифр и их расстановка независимы, и у каждого набора ровно $180$ расстановок. Поэтому

Нуля среди разрешённых цифр нет, поэтому каждая расстановка — настоящее шестизначное число: «лишних» чисел с нулём в начале вычитать не нужно.