Задача 6. Ровно две точки пересечения

Разбираем первое уравнение по знакам

Так как $2x - y = x + (x - y)$, уравнение можно переписать так:

Слева $|x| - x$: это $0$ при $x \ge 0$ и $-2x > 0$ при $x < 0$. Справа $|t| + t$ при $t = x - y$: это $0$ при $y \ge x$ и $2(x - y) > 0$ при $y < x$. Четыре случая:

• $x \ge 0$, $y \ge x$: $0 = 0$ — подходят все такие точки.
• $x \ge 0$, $y < x$: $0 = 2(x - y) > 0$ — не подходит ни одна.
• $x < 0$, $y \ge x$: $-2x = 0$, но $x < 0$ — не подходит ни одна.
• $x < 0$, $y < x$: $-2x = 2(x - y)$, то есть $y = 2x$. При $x < 0$ действительно $2x < x$, так что подходят все точки луча $y = 2x$, $x < 0$.

Итак, первое уравнение задаёт область $S = \{x \ge 0,\ y \ge x\}$ (вместе с границей) и луч $L$: $y = 2x$, $x < 0$. Луч упирается в начало координат, которое лежит в $S$. В модели это видно по зелёным и красным пробным точкам.

Второе уравнение — окружность

Выделим полный квадрат: $x^2 + y^2 + 8y = a \iff x^2 + (y + 4)^2 = a + 16$.

• При $a < -16$ точек нет.
• При $a = -16$ — одна точка $(0; -4)$; она не лежит ни в $S$, ни на луче.
• При $a > -16$ — окружность с центром $(0; -4)$ и радиусом $\sqrt{a + 16}$.

Решения системы — общие точки окружности с $S$ и с лучом. Посчитаем их по отдельности.

Общие точки с областью S

В области $S$ выполнено $y \ge x \ge 0$, значит, $y \ge 0$ и

причём ноль получается только при $x = y = 0$. Поэтому:

• при $a < 0$ общих точек с $S$ нет;
• при $a = 0$ общая точка одна — начало координат;
• при $a > 0$ радиус больше $4$, и верхняя точка окружности $(0;\ -4 + \sqrt{a + 16})$ лежит выше нуля на оси $y$, то есть в $S$. Рядом с ней в $S$ лежит целая дуга окружности — общих точек бесконечно много.

Значит, все $a > 0$ сразу не подходят.

Общие точки с лучом

Подставим $y = 2x$: $x^2 + 4x^2 + 16x = a$, то есть

Здесь удобно разрешить $x = 0$: это начало координат, его просто нельзя будет посчитать дважды. Парабола $F$ имеет вершину при $x = -\dfrac{8}{5}$, где $F = 5 \cdot \dfrac{64}{25} - \dfrac{128}{5} = -\dfrac{64}{5}$, и нули $x = -\dfrac{16}{5}$ и $x = 0$ (график ниже). При $x \le 0$:

• $a < -\dfrac{64}{5}$: корней нет;
• $a = -\dfrac{64}{5}$: один корень $x = -\dfrac{8}{5}$ — окружность касается луча;
• $-\dfrac{64}{5} < a < 0$: два корня, оба между $-\dfrac{16}{5}$ и $0$, оба отрицательные — две точки луча;
• $a = 0$: корни $x = -\dfrac{16}{5}$ и $x = 0$; второй — это начало координат;
• $a > 0$: один отрицательный корень (но такие $a$ уже исключены).

Собираем всё вместе

Считаем различные точки $(x; y)$.

При $a = 0$ на луче лежат точки $(0; 0)$ и $\left(-\dfrac{16}{5}; -\dfrac{32}{5}\right)$, а в $S$ — только $(0; 0)$. Начало координат — одна и та же точка, это одно решение, а не два: всего решений два. Ровно два решения — при $-\dfrac{64}{5} < a \le 0$.