Задача 7. Равенство в сумме неравенств

Когда выражения имеют смысл

На $x^3$, $y^3$, $z^3$ делят, поэтому $x, y, z \ne 0$. Под корнями должно быть неотрицательное число: $yz \ge 0$ и $zx \ge 0$. Так как нулей нет, $yz > 0$ и $zx > 0$: $y$ и $z$ одного знака, $z$ и $x$ одного знака. Значит, все три числа одного знака.

Тогда каждая дробь вида $\dfrac{x^7}{y^3}$ положительна: $x^7$ имеет знак $x$, $y^3$ — знак $y$, а знаки одинаковые.

Разбиваем дроби на пары

Раскроем три дроби левой части на шесть и соберём их по-другому:

Произведение дробей в первой паре: $\dfrac{x^7}{y^3} \cdot \dfrac{y^7}{x^3} = x^4y^4$. Это и подсказывает, с чем её сравнивать: $2\sqrt{x^4y^4} = 2x^2y^2$ — как раз слагаемое правой части.

Каждая пара не меньше своего слагаемого

Для положительных $u$ и $v$:

и ноль получается только при $u = v$. Это неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Для первой пары $u = \dfrac{x^7}{y^3}$, $v = \dfrac{y^7}{x^3}$, $\sqrt{uv} = x^2y^2$:

Точно так же вторая пара не меньше $2y^2z^2$, третья — не меньше $2z^2x^2$. Складывая, получаем, что левая часть уравнения не меньше правой.

Равенство — только в каждой паре

Разность левой и правой частей — сумма трёх неотрицательных «излишков» пар. Она равна нулю, только если каждый излишек равен нулю. В модели это видно: полоски всех трёх пар должны обнулиться одновременно.

Для первой пары равенство значит $\dfrac{x^7}{y^3} = \dfrac{y^7}{x^3}$, то есть $x^{10} = y^{10}$, $|x| = |y|$. Числа одного знака, поэтому $x = y$. Так же $y = z$.

Итак, $x = y = z = t$, $t \ne 0$. Обратно, любая такая тройка подходит под уравнение: левая часть $3 \cdot \dfrac{2t^7}{t^3} = 6t^4$, правая $3 \cdot 2t^4 = 6t^4$.

Остаётся неравенство

При $x = y = z = t$ под корнями стоит $t^2$, а $\sqrt{t^2} = |t|$ (не $t$: при $t < 0$ корень всё равно положителен). Неравенство становится

Это $t \in [-4; -2] \cup [2; 4]$. Например, тройки $(3; 3; 3)$ и $(-2; -2; -2)$ подходят, а $(1; 1; 1)$ и $(5; 5; 5)$ — нет.