Задача 9. Вписанный четырёхугольник с диаметром

OB параллельна CD

Пусть $O$ — центр окружности (середина $AC$), $E$ — точка пересечения диагоналей, $CE = 1$, $OE = 5 - 1 = 4$.

Точка $B$ равноудалена от $A$ и $D$, значит, лежит на серединном перпендикуляре к хорде $AD$; он проходит через центр $O$. Поэтому $OB \perp AD$. Угол $ADC$ опирается на диаметр $AC$, значит, $CD \perp AD$. Две прямые, перпендикулярные $AD$, параллельны: $OB \parallel CD$.

Длина CD

Точки $O$, $E$, $C$ лежат на $AC$, точки $B$, $E$, $D$ — на $BD$, и $OB \parallel CD$. Треугольники $EOB$ и $ECD$ подобны:

Косинус угла ABD

Вписанные углы $ABD$ и $ACD$ опираются на одну и ту же дугу $AD$, поэтому равны. В прямоугольном треугольнике $ACD$ (угол $D$ прямой)

Такой четырёхугольник существует

Возьмём на окружности точку $D$ с $CD = \frac54$ и точку $B$ по другую сторону от $AC$ с $OB \parallel CD$. Тогда $OB \perp AD$, то есть $B$ на серединном перпендикуляре к $AD$, и $AB = BD$; прямая $BD$ делит $OC$ в отношении $OB : CD = 4 : 1$, то есть проходит через точку $E$ с $CE = 1$. Проверка: $AD = \sqrt{100 - \frac{25}{16}} = \frac{15\sqrt7}{4}$ и $AB = BD = 7{,}5$.

В общем виде $CD = \frac{Rd}{R - d}$ и $\cos\angle ABD = \frac{d}{2(R - d)}$, где $d = CE$; четырёхугольник существует при $3d < 2R$ (иначе $CD \geqslant AC$).