Задача 6. Параметр и два неравенства

Логарифм без логарифма

Для $u > 0$, $u \ne 1$, $v > 0$ неравенство $\log_u v > 0$ выполнено, когда $u$ и $v$ оба больше $1$ или оба меньше $1$, то есть $(u - 1)(v - 1) > 0$. Здесь $u = x + 1$, $v = 3 - ax$, поэтому первое неравенство равносильно системе

Второе неравенство

При $a \ne 0$ левая часть раскладывается: $x^2 + \frac{2a - 5}{2a}x - \frac{5}{2a} = (x + 1)\left(x - \frac{5}{2a}\right)$. Для решений первого неравенства $x + 1 > 0$, поэтому для них второе неравенство равносильно $x > \frac{5}{2a}$.

При $a = 0$ второе неравенство не имеет смысла, а у первого есть решения ($x > 0$), так что $a = 0$ не подходит.

Положительные a не подходят

Если $a > 0$, то $x(2 - ax) > 0$ даёт $0 < x < \frac{2}{a}$ (при этом $3 - ax > 1 > 0$). Но все такие $x$ меньше $\frac{5}{2a}$ — ни одно решение первого не удовлетворяет второму.

Отрицательные a: решения первого неравенства

Пусть $a < 0$. Трёхчлен $x(2 - ax)$ с положительным старшим коэффициентом $-a$ и корнями $\frac{2}{a} < 0$ и $0$ положителен при $x > 0$ и при $x < \frac{2}{a}$; условие $3 - ax > 0$ означает $x > \frac{3}{a}$. Вместе с $x > -1$: - при $-2 \leqslant a < 0$ решения — все $x > 0$ (ведь $\frac{2}{a} \leqslant -1$); - при $-3 \leqslant a < -2$ — все $x > 0$ и ещё промежуток $\left(-1; \frac{2}{a}\right)$; - при $a < -3$ — все $x > 0$ и ещё промежуток $\left(\frac{3}{a}; \frac{2}{a}\right)$.

Все $x > 0$ удовлетворяют условию $x > \frac{5}{2a}$, так как $\frac{5}{2a} < 0$. Остаётся проверить отрицательные промежутки.

Какие a подходят

При $-2 \leqslant a < 0$ отрицательных решений нет — подходит.

При $-3 \leqslant a < -2$ нужно, чтобы весь промежуток $\left(-1; \frac{2}{a}\right)$ лежал правее $\frac{5}{2a}$, то есть $-1 \geqslant \frac{5}{2a}$. Умножая на $2a < 0$: $-2a \leqslant 5$, $a \geqslant -2{,}5$.

При $a < -3$ нужно $\frac{3}{a} \geqslant \frac{5}{2a}$, то есть (умножая на $2a < 0$) $6 \leqslant 5$ — неверно, не подходит.

Итак, подходят ровно $a \in [-2{,}5; 0)$, и наименьшее из них $a = -2{,}5$. Проверка: при $a = -2{,}5$ решения первого — $(-1; -0{,}8) \cup (0; +\infty)$, все они больше $\frac{5}{2a} = -1$.