Задача 4. Общая часть двух конусов

Высоты конусов

Пусть у широкого конуса радиус основания $R$ и высота $H$, у узкого — радиус $r = \frac{R}{3}$ и высота $h$. Объёмы равны: $\frac13 \pi R^2 H = \frac13 \pi r^2 h$, откуда $h = 9H$. Узкий конус в $9$ раз выше широкого.

Где пересекаются образующие

Рассмотрим осевое сечение. На расстоянии $\rho$ от оси образующая широкого конуса находится на высоте $H\left(1 - \frac{\rho}{R}\right)$, а образующая узкого — на высоте $9H\left(1 - \frac{\rho}{r}\right) = 9H\left(1 - \frac{3\rho}{R}\right)$. Они пересекаются в точке $B$, где

на высоте $z_0 = H\left(1 - \frac{4}{13}\right) = \frac{9}{13}H$.

Горизонтальная плоскость режет конусы по концентрическим кругам, и общая часть сечения — меньший круг. Ниже высоты $z_0$ меньше круг узкого конуса (у основания его радиус $\frac{R}{3} < R$), выше — круг широкого.

Объём общей части

Выше $z_0$ общая часть — верхушка широкого конуса с радиусом основания $\rho_0$. Она подобна всему широкому конусу с коэффициентом $\frac{\rho_0}{R} = \frac{4}{13}$, её объём $\left(\frac{4}{13}\right)^3 = \frac{64}{2197}$.

Ниже $z_0$ общая часть — узкий конус без верхушки. Верхушка имеет радиус основания $\rho_0 = \frac{4}{13}R = \frac{12}{13}r$, коэффициент подобия $\frac{12}{13}$, поэтому остаётся $1 - \left(\frac{12}{13}\right)^3 = \frac{469}{2197}$.

Всего

Общая формула

При отношении радиусов $k$ высоты относятся как $1 : k^2$, образующие пересекаются при $\frac{\rho_0}{R} = t_0 = \frac{k + 1}{k^2 + k + 1}$, а объём общей части равен

При $k = 3$: $t_0 = \frac{4}{13}$, $V = 1 - 26 \cdot \frac{64}{2197} = \frac{41}{169}$.